12无穷等比数列各项的和-2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

12无穷等比数列各项的和-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全 国通用） 一、单选题 1．阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与互质）的形式，从而有理数集与互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．例如：．循环小数化成分数为（    ） A． B． C． D． 2．雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（    ） A． B． C． D． 3．对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（    ） A． B． C． D． 4．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 5．设是无穷等差数列的前项和（），则“存在”是 “该数列公差”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6．若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（    ）. A．44 B．110 C．132 D．143 7．若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列.已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中，是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为 A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 8．一个弹性小球从米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则（    ） A．是无理数 B．是有理数 C． D．无限循环小数是有理数 10．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为 三、填空题 11．设数列是公比的等比数列，是它的前n项和.若，则此数列的首项的取值范围是 . 12．已知无穷等比数列中，，，则 ． 13．无穷等比数列的前n项和为，且，则首项的取值范围是 ． 14．首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为 ． 15．已知无穷等比数列的前项和，则的各项和为 ． 16．无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数.如；应用上述方法转化（，为互质整数），则 . 17．设无穷等比数列的公比为，且，则该数列的各项和的最小值为 ． 18．设无穷等比数列的首项，前两项的和为，若所有奇数项的和比所有偶数项的和大，则 . 四、解答题 19．将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”. (1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由； (2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：； (3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且. 20．设数列的各项都是正数，若对于任意的正整数，存在，使得、、成等比数列，则称函数为“型”数列. （1）若是“型”数列，且，，求的值； （2）若是“型”数列，且，，求的前项和； （3）若既是“型”数列，又是“型”数列，求证：数列是等比数列.