11等差数列和等比数列的综合应用（常考压轴解答题）-2024届高考数学重要模型专练（全

11等差数列和等比数列的综合应用（常考压轴解答题）-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全 国通用） 一、解答题 1．设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列． （1）设，若对均成立，求d的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）． 2．已知数列满足：， 证明：当时， （I）； （II）； （III）. 3．若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. （1）若具有性质，且，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”. 4．已知数列与满足，. （1）若，且，求数列的通项公式； （2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项； （3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且. 5．已知函数，且存在，使得，设，，，． （Ⅰ）证明单调递增； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）记，其前项和为，求证：． 6．已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足关系式，求证：数列的通项公式为； （3）设（2）中的数列的前n项和为，对任意的正整数n，恒成立，求实数p的取值范围. 7．给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由； （2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由； （3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使． 8．设，若无穷数列满足：对所有整数，都成立，则称“-折叠数列”. （1）求所有的实数，使得通项公式为的数列是-折叠数列； （2）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是-折叠数列，且的各项中恰有个不同的值？证明你的结论； （3）设递增数列满足.已知如果对所有，都是-折叠数列，则的各项中至多只有个不同的值，证明：. 9．对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”. （1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围； （2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：（）； （3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证:是“趋稳数列”. 10．记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，. （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：； （3）设，求证：. 11．已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)已知为等比数列，对于任意，若，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及其前项和． 12．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 13．在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 14．已知各项不为零的数列的前项和为，且，（） （1）求证：数列是等差数列； （2）设数列满足：，且，求正整数的值； （3）若、均为正整数，且，，在数列中，，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）d的取值范围为； （2）d的取值范围为，证明见解析． 【分析】（1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差d的取值范围； （2）方法一：先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范围. 【详解】（1）由条件知：． 因为对n=1，2，3，4均成立， 即对n=1，2，3，4均成立， 即11，1d3，32d5，73d9，得． 因此，d的取值范围为． （2）［方法一］：分参求最值 由条件知：． 若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立， 即， 即当时，d满足． 因为，则， 从而，，对均成立． 因此，取d=0时，对均成立． 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而． 因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x>0时，， 所以单调递减，从而<f（0）=1． 当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d的取值范围为． ［方法二］： ．     ① 记，