09数列不等式能成立（有解）问题-2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

09数列不等式能成立（有解）问题-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全 国通用） 一、单选题 1．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 3．在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知正项数列的前n项和为，且，设，数列的前n项和为，则满足的n的最小正整数解为（    ） A．15 B．16 C．3 D．4 5．已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（    ） A．21 B．38 C．43 D．44 7．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．数列满足，且，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．恒成立 D．存在正数，使得恒成立 11．设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，，则使的最大正整数的值为15 B．若（为常数），则必有 C．必为等差数列 D．必为等比数列 12．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②，；③，，，定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为“s数列” B．若，则为“t数列” C．若为“s数列”，则为“t数列” D．若等比数列为“t数列”，则为“s数列” 三、填空题 13．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为 ． 14．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ． 15．已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为 16．已知数列的前项和为，且满足.有以下结论： ①数列是等差数列；②；③. 其中所有正确命题的序号是 . 17．已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是 ． 18．已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为 ． 19．数列满足，，实数为常数，①数列有可能为常数列；②时，数列为等差数列；③若，则；④时，数列递减；则以上判断正确的有 （填写序号即可） 20．设数列的前项和为，且.若存在正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 21．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 22．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】由题设及累加可得，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果. 【详解】由题意，，且， 累加可得，所以， ∴，得，即． 故选