09数列不等式恒成立问题-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

09数列不等式恒成立问题-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全 国通用） 一、单选题 1．已知等边三角形的边长为4，连接其各边的一个三等分点得到等边三角形，再连接各边的一个三等分点得到等边三角形，继续依此方法，得到一系列等边三角形，记的面积为，若．恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．下列关于数列的判断中正确的是（    ） A．对一切都有 B．对一切都有 C．对一切都有，且存在使 D．对一切都有，且存在使 3．设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（    ） A．数列的公比为 B． C．存在最大值，但无最小值 D． 4．费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记作，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足，则数列的前项和满足的最小自然数是（    ） A． B． C． D． 5．数列满足，，若为等比数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，1680年卡西尼发现了斐波那契数列的一个重要性质：（）．若斐波那契数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．k可以是任意正奇数 B．k可以是任意正偶数 C．若k是奇数，则k的最大值是999 D．若k是偶数，则k的最大值是500 12．记表示与实数最接近的整数，数列通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 13．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和，数列满足，，，且；下列几个结论中，所有正确结论的编号为 . ①；②；③；④. 14．已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题： ①； ②若对恒成立，则； ③设，，则的最小值为； ④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为． 其中所有正确的命题的序号为 ． 15．设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ． 16．已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 17．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 18．已知数列与的前n项和分别为，则 ；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 19．函数． (1)若与有相同的极小值点，求a的值； (2)已知数列满足：，； ①证明：存在等比数列和唯一的公比q，使得 ②设的前n项和为，证明：． 20．设对任意，数列满足，，数列满足． (1)证明：单调递增，且； (2)记，证明：存在常数，使得． 21．已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】由余弦定理得出边长的关系，再由前三项的面积成等比数列，由此推断出数列是首项为，公比为的等比数列，进而由求和公式以及不等式的性质证明. 【详解】设，由余弦定理可得 ， 则， ， 由此可知，数列是首项为，公比为的等比数列. 则 因为．恒成立，所以. 即的最小值为.    故选：C 2．A 【分析】利用均值不等式可得，结合二项式定理和裂项相消法可得. 【详解】我们先证明一个不等式：. 证明：要证，即证， 即证：, 由均值不等式可得. 故不等式成立. 我们再证明一个不等式：. 证明：由二项式定理可得， 而当时， ， 故， 故.故A正确，BCD错误. 故选：A 3．C 【分析】根据题意，由，求出公比，可判断A的正误；利用等比数列的前项和公式求出，可判断B的正误；根据题意求出，可判断C，D的正误. 【详解】因为，， 所以正项等比数列的公比满足，且， 所以，故A错误； 由等比数列的前项和公式可得，， 因为，所以，故B错误； 因为， 所以， 易知，由指数函数单调性可知， 所以存在最大值，但无最小值，故C正确； ，故D错误； 故选：C. 4．B 【