计数原理、概率及统计题型大梳理讲义-2024届高三数学二轮复习

计数原理、概率及成对数据题型大梳理 一、计数原理 （一）分类加法与分步乘法 1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 常考题型 考点一　两个计数原理及其应用(基础性) 1．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14　　 B．13　　 C．12　　 D．10 2.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　) A．120 B．140 C．240 D．260 （二）排列组合 排列、组合的定义 排列的 定义　 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的 定义　 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 3.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ ＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝ C 常考题型 [角度1]　相邻相间问题、定序问题 　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种　　　　　 B．24种 C．36种 D．48种 [角度2]　特殊元素(位置)问题 　(1)[一题多解]从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法(用数字作答)． [角度3]　分组、分配问题 　(1)[一题多解](2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 (2)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法． [角度4]　相同元素排列与圆排列问题 　(1)将4个1和2个0随机排成一行，共有________种排法． (2)有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有________种不同的坐法？ (3)某市拟成立一个由6名高中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所重点中学，要求每所重点中学都有学生参加，那么不同名额分配方法的种数是(　　) A．10　　 B．20　　 C．24　　 D．28 （三）二项式定理 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 常考题型 考点一　二项展开式中特定项及系数问题(基础性) 1．在(x＋)5的展开式中，x2的系数是______． 2．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 3．(2023·安庆一中高三月考)已知(x＋3)6＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a5(x＋1)5＋a6(x＋1)6，则a4＝________． 考点二　二项式系数的性质或各项系数和(综合性) 　(1)(2022·天津西青区模拟)在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________． (2)已知二项式(2x－)n的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________． (3)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　) A．0　　 B．1　　 C．32　　 D．－1 [母题探究1]　在本例(3)中，条件不变求|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|. [母题探究2]　在本例(3)中，条件不变，求a1＋2a2＋