2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数教学设计-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数 教学目标 1.了解函数奇偶性的概念,会利用定义证明简单函数的奇偶性. 2.感受数学对称的内涵和形式的优美. 3.了解幂函数的概念,通过梳理,理解简单幂函数的变化规律. 教学重难点 重点:用定义证明函数的奇偶性;掌握幂函数概念. 难点:理解简单幂函数的图象与性质. 教学过程 1、 新课导入 1.2017年12月15日,北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布.下图是参选的会徽设计的一部分图形,试着分析它们的对称性(不考虑色彩因素). (1) (2) (3) 可以判断出:图(2)既是中心对称图形,又是轴对称图形;图(1)(3)既不是中心对称图形,也不是轴对称图形. 2.画出函数,,的图象,观察它们的对称性. 函数图象如下: 从图象可以看出,函数,的图象分别为直线、双曲线,它们既是中心对称图形,又是轴对称图形,它们都以坐标原点为对称中心,但坐标轴不是其对称轴; 函数是最简单的二次函数,图象是抛物线,关于y轴对称. 设计意图:两个问题的情境从几何图形到函数图象,由平面图形的对称性判断到平面直角坐标系中图象的对称性分析,同时选择函数,,为例也为学习幂函数做准备. 二、新知探究 问题1:(1)画出函数的图象,并观察它的对称性. 答案:先列表,如下, x … -2 -1 0 1 2 … … -8 -1 0 1 8 … 通过描点连线,画出函数的图象,如下图.结合图象,可以看出函数的图象关于原点对称. 追问1:你能说出函数的解析式是怎样体现关于原点对称这个性质的吗? 答案:对于定义域中的任一个自变量x,都有,即=. 追问2:根据上述结论,利用函数的解析式判断,的图象是否关于原点对称. 答案:因为对任意的x,都有即对定义域中的任意x,都有成立,所以函数和的图象都关于原点对称. 问题2:利用上面的结论判断函数是否满足上述性质?如果不满足,函数具有怎样的对称性?试着利用函数解析式加以说明. 答案:因为对任意的x,都有,即对定义域中的任意x,都有成立,因此函数不关于原点对称,结合学过的知识可知函数的图象关于轴对称. 设计意图:通过具体例子,抽象概括出像,,这样的函数,满足对定义域中的任意x,都有成立;像这样的函数,对定义域中的任意x,都有成立. 奇函数与偶函数: 一般地,设函数的定义域是A,如果对任意的xA,有-xA,且,那么称函数为奇函数,奇函数的图象关于原点中心对称,反之亦然. 设函数的定义域A,如果对任意的xA,有xA,且,那么称函数为偶函数,偶函数的图象关于y轴对称,反之亦然. 问题3:函数是否具有奇偶性? 答案:因为函数=的定义域为[0,),不关于原点对称,所以函数既不是奇函数,也不是偶函数.即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 设计意图:通过研究函数的奇偶性,既巩固对函数奇偶性概念的理解,又为简单幂函数的学习积累经验. 问题4:函数,,,的解析式有什么共同特性呢? 答案:和表示为和,由此我们发现函数,,,的解析式都可以写成( 为常数)这种形式. 追问:我们该如何定义形如( 为常数)这种形式的函数呢? 答案:形如( 为常数)这样的函数称为幂函数. 问题6:你会画函数,,,的图象吗?请将这5个函数的图象画在同一平面直角坐标系中,并填写下表. 答案:画出图象如下 y=x 定义域 R ()(0,) R ,) R 值域 R ()(0,) ,) ,) R 单调性 在R上单调递增 在(,0)上单调递减 在(0,)上单调递减 在(,上单调递减 在,)上单调递增 在,)上单调递增 在R上单调递增 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 追问:通过观察上述函数图象你能发现它们有哪些特点? 答案:可以发现它们在第一象限内都有图象,在第四象限内都没有图象. 问题7:通过上述几个幂函数的图象和特点,你能总结出幂函数有哪些性质? 答案:幂函数的上述性质可以归纳如下: (1)当0时,图象都过点(0,0)(1,1);在第一象限内,函数单调递增. (2)当0时,图象都过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近. 3、 应用举例 例1根据定义判断下列函数的奇偶性: (1); (2); (3) ; (4). 分析:根据函数奇偶性的定义来判断. 解:(1)依题意知的定义域为R,且对于任意的xR,有,,即所以函数是奇函数. (2)依题意知函数的定义域为R,且对于任意的xR,有=,即.所以函数偶函数. (3)依题意知函数的定义域是{x∣x≠0},且对于定义域内任意的,有即所以函数是偶函数. (4)根据定义知,如果一个函数是奇函数或偶函数,它的定义域是关于原点对称的.而函数.的定义域为{x∣x≠2},它不关于原点对称,所以既不是奇函数,也不是偶函数. 例2已知函数f(x)是