2.2.3函数的单调性和最值 第2课时教学设计-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 2.3函数的单调性和最值 第2课时 ( 教学目标 ) 1.知识目标 (1)利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间. (2)掌握函数的单调性的定义,用定义证明函数的单调性,作差结果符号的判断方法. (3)熟悉常见函数(绝对值函数、二次函数、分段函数等)的单调性及简单应用. 2.核心素养目标 (1)通过函数单调性的概念的学习和简单的应用,体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法. (2)提高学生的数学运算和直观想象能力. ( 教学重难点 ) 教学重点:利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间. 教学难点:对函数单调性概念中关键词的理解. ( 课前准备 ) PPT课件. ( 教学过程 ) 一、导入新课 问题1:初中学习了一次函数的图象和性质,当自变量x变化时,函数值f(x)随之怎样变化? 师生活动:教师引导学生观察图象的升降,学生观察图像并说出自己对图象的直观认识. 预设的答案:当时,直线是由左向右上升,即函数值随自变量的增大而增大;当时,直线由左向右下降,即函数值随自变量的增大而减小. 设计意图:在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识. 问题2:二次函数、反比例函数的函数值是如何变化的? 师生活动:引导学生从“形变”过渡到“数变”;从定性分析到定量分析,学生思考并回答. 预设的答案:不同函数,其图象上升、下降规律不同;且同一函数在不同区间上的变化规律也不同;比如二次函数,当时,函数值随着自变量的变大而变大;当时,函数值随着自变量的变大而变小. 设计意图:体会同一函数在不同区间上的变化差异. 教师引语:用增大或减小来刻画一个函数在一个区间的变化是非常重要的,这一节课我们一起来学习函数的单调性,并板书课题. 二、新知探究 问题3:如图所示,是某个函数的图象,说出在各个区间,函数值随自变量的值的变化情况. 师生活动:学生观察图像并做出回答. 预设的答案:在区间[−6,−5],[−2,1],[3,4.5],[7,8]上,函数值都是随的值的增大而增大;在区间(−5,−2),(1,3),(4.5,7),(8,9]上,函数值都是随的值的增大而减小. 设计意图:让学生观察具体的函数图象“上升、下降”的特征,加强学生对函数的单调性的直观认识. 追问:怎样用数学符号语言表达函数值在区间上随的值增大而增大呢? 师生活动:先让学生从具体到抽象尝试概括,教师进行启发,最后得到符号表示只要,就有. 预设的答案:对任意的,若,则;或则对任意的,若,则. 教师总结:我们借助数学符号语言,给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述,即任取,,把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程,这就是数学抽象的力量. 设计意图:通过师生的合作、交流,突破增函数符号化这一难点;高一的学生符号化能力较弱,但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要;这为以后学习其它知识的符号化学习提供了经验,同时也提升了学生的数学抽象素养. 教师总结:函数值在区间上随值的增大而增大,我们称在区间上是增函数或递增的. 问题4:对于函数,若在区间上存在两个实数,当时,有,那么能否说函数在区间上是增函数?若不正确,请给出一个反例. 师生活动:先由学生独立完成并交流,再由教师给出严格的单调性定义表述. 预设的答案:不正确;对于函数满足,显然在区间上不是增函数. 追问1:类比函数在区间是增函数的符号化语言,你能给出“定义域为的函数在定义域的某个区间上单调递增”的符号化语言表述吗? 师生活动:先由学生独立完成并交流,再由教师给出严格的单调性定义表述. 预设的答案:如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上是增函数或递增的;当函数在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数(increasing function);增函数的图象是上升的. 设计意图:通过师生的合作、交流,突破增函数符号化这一难点.高一的学生符号化能力较弱,但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要,这为以后学习其它知识的符号化提供了经验,同时也提升了学生的数学抽象素养. 追问2:类似地,你能不能给出“定义域为的函数在定义域的某个区间上单调递减”的符号化语言表述? 预设的答案:如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上是减函数或递减的;当函数在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数(Decreasing function);减函数的图象是下降的. 教师总结:函数在区间上是增函数(减函数),那么就称函数在区间上是单调函数,或称在区间上具有单调性,区间称为函数的单调区间;如二次函数在区间上是单调增函数(单调递增),区间是函数的单调增区间. 设计意图:这个环节是本节课的重点,也是难点,其核心是通过从具体到抽象的过程,让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间上,当增大时,相应的随之减小”. 从图象到定性再到定量的不断精确化