2.2.3函数的单调性和最值 第2课时教学设计-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 2.3函数的单调性和最值 第2课时 教学目标 1.知识目标 (1)利用函数的单调性定义证明函数的单调性. (2)复杂函数(双曲函数、分式函数、复合函数等)单调性的分析和证明. (3)熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题. 2.核心素养目标 (1)通过函数单调性的应用,体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法. (2)提高学生的数学运算和直观想象能力. 教学重难点 教学重点:利用定义证明函数的单调性. 教学难点:利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题. 课前准备 PPT课件. 教学过程 一、导入新课 问题1:增函数和减函数的定义是什么? 师生活动:教师提问,学生思考并回答,教师补充. 预设答案:在函数()定义域内的一个区间上,如果对于任意的,,当<时,都有()<(),就称函数=(x)在区间上是增函数;如果都有(x1)>(x2),就称函数=()在区间上是减函数. 追问:如果有两个函数=和=,在同一个区间上都是单增(单减)函数,那么函数=()()的具有怎样的单调性?能不能判断函数()的单调性呢? 预设答案:函数也是单增(单减)函数,函数()的单调性不确定. 设计意图:教师引导学生复习回忆上节课知识,引出本节课的课题. 资源名称:【知识点解析】函数的基本性质. 使用说明:本资源为《函数单调性的加减性质》的讲解视频,其目的是帮助学生更好的理解函数、函数的单调性的加减性质,同时对该知识相关重难点进行了归纳小结,带领学生梳理知识脉络,加深理解. 注:此图片为“微课”缩略图,如需使用资源,请于资源库调用. 二、新知探究 1.定函数在区间上的单调性 问题2:画出函数()的图像,通过图像判断函数在上的单调性. 师生活动:学生独立思考画图,求证,回答. 预设答案: 设计意图:通过画函数的图像,培养学生细心观察图象并进行分析最后严谨论证的良好思维习惯. 问题3:如何证明在R上单调递减,请给出证明. 师生活动:教师引导学生分析,根据函数单调性的定义,需要考察当时,还是.根据实数大小关系的基本事实,只要考察与的大小关系.学生尝试写出证明步骤,教师点评总结. 预设答案:解:画出函数的图象,可以看出函数在上是减函数; 下面用定义证明这一单调性; 任取,且,则, =,即, 所以函数在上是减函数. 设计意图:使学生从形与数两方面加深理解函数单调性的概念,掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法,提高学生的推理论证能力. 问题4:你能归纳一下用单调性定义证明一个函数在区间上的单调性的基本步骤吗? 师生活动:请学生阐明应用定义证明(判定)并总结证明单调性的基本步骤. 预设答案: (i)取值:任取,且. (ii)作差:(对其进行因式分解,要注意变形的程度). (iii)判断:判断上述差的符号,即得到(或). (IV)结论:若,则函数在区间D内为增函数;若,则函数在区间D内为减函数. 设计意图:掌握函数单调性的证明程序,让学生再次体验数学概念如何从直观到抽象,文字到符号,从粗疏到严密,从而让学生感悟数学概念符号化的建构原则. 2.动函数在定区间上的单调性 问题5: (1)设函数f(x),证明:当时,函数在区间上是减函数? (2)已知,函数是区间上的单调函数,求实数的取值范围? 师生活动:教师引导学生分析参数对函数单调性的影响,学生完成证明过程. 预设答案: (1)设,且, () = = =, 因为,所以, 所以,, 因为,所以, 所以),即). 故函数在区间上是减函数. (2)任取,且 () = = , 由于,故, 根据题意的符号恒正或恒负,所以. 故实数的取值范围是. 设计意图:让学生感受解决问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂;培养利用分类讨论、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识,从而培养学生逻辑推理的数学核心素养. 三、巩固练习 例1判断函数(x)=的单调性,并给出证明. 师生活动:学生代表板书证明过程,教师点评. 预设的答案:画出函数的图象,可以看出,函数在定义域内是增函数,下面给出证明; 设,且,则, 故, ∵,∴,即. 故函数在定义域上是增函数. 设计意图:强化记题步骤与格式. 例2试用定义证明:函数在区间上是减函数,在区间上是增函数. 师生活动:学生代表板书证明过程,教师点评. 预设答案:设,且,则, 故 = = ∵,,∴,即, 又,故, 故函数在区间上是减函数. 同理可证,函数在区间上是增函数. 设计意图:强化记题步骤与格式. 例3 (1)已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围; (2)已知的单调递减区间是,求实数的取值范围. 师生活动:学生代表板书证明过程,教师点评. 预设答案:的对称轴为, ; . 设计意图:强化记题步骤与格式. 教师总结: ①函数在区间上是减函数,在区间