2.3.1 函数的单调性和最值(1)教学设计-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第三章 函数的单调性和最值 2.3.1 函数的单调性和最值（1） · 教学目标 1．理解增函数、减函数、最值等概念． 2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力． 3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯． · 教学重难点 · 重点：函数单调性的概念． 难点：对函数单调性概念中关键词的理解． · 教学过程 1、 新课导入 复习函数的概念，回答以下问题： 1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么? 2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点? 3．函数的定义域怎样确定?如何表示? 4．函数研究的主要内容是什么? 5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征? （1） （2） （3） 1．函数概念：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作．函数的三要素：定义域、对应法则、值域． 2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系； 图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势； 列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值． 3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示． 4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质． 5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小． 设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比． 二、新知探究 问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势． 答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变． 问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的． 答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小． 函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性． 追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢? 答案：对于任意的、∈[-6，-5]．当<时，f()< f()． 设计意图：在观察分析的过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究． 问题３：通过上面的学习，我们如何用数学的符号语言表达函数的单调性呢？ 一般地，设函数f(x)的定义域D：如果对于任意的、∈D，当<都有f()< f()，那么就称函数是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递增． 如果对于任意的、∈D，当<都有f()>f()，那么就称函数是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递减． 如果函数在区间上单调递增或递减，那么就称函数在区间I上具有单调性．此时I为函数的单调区间． 追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？ 答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有、只要满足<都有f()< f()或者f()> f()成立，才能确定函数的单调性． 追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？ 答案：在函数定义域内的一个区间I上，对于任意的、∈I且 若或则称函数在区间I上是增函数或函数在区间I上单调递增． 若或则称函数在区间I上是减函数或函数在区间I上单调递减． 问题４：观察问题２中函数的图象，函数值在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？ 答案：根据函数图象，函数值在和这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值． 函数的最值： 若存在实数M，对所有的x∈D，都有且存在使得=M，则称M为函数的最大值． 同样的，可以定义函数的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值． 总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素； （2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，