练案20 第二章 3 第1课时函数的单调性-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

练案[20] 第二章 §3[第1课时 函数的单调性] 名组·基础自测 ! 8.函数x)=x-2在[1,2]上的最大值是 一、选择题 三、解答题 1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 )9已知函数f)=+2证明函数x)在(-2， A.y=5-x B.y=x2+2 +o∞)上单调递增 C.y=1 D.y=-lxl 2.如图中是定义在区间[-5,5]上的函数y= f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是 4-3-202345 A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]U[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上不单调 3两数y的单调碱风间是 10.已知函数f(x)=Ix|(x+1),试画出函数 (x)的图象，并根据图象解决下列两个问题. A.(-∞，1)，(1，+∞) B.(-0,1)U(1,+∞) C.{x∈Rx≠1} D.R 4.若函数y=2ax-b在[1,2]上的最大值与最小 值的差为2，则实数a的值是 A.1 B.-1 (1)写出函数f(x)的单调区间； C.1或-1 D.0 (2)求函数(x)在区间[-1，的最大值， 5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1]，若 f(x)有最小值-2，则f(x)的最大值为() A.-1B.0C.1 D.2 6.已知函数f(x)=1x-a对于区间(-∞，-1) 上任意的，西（≠）均满足)-一八) x2-x1 <0,则实数a的取值范围是 A.[-1,+∞) B.[1,+o) C.(-∞，1] D.(-∞，-1] 二、填空题 7.若函数y=f(x)的图象如图所示，则函数f(x) 的单调递增区间是 —211 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.已知函数)=x 1.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( (1)求f(x)的定义域和值域； A.y=1+2 B.y=3x-2 (2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性， C.y=x2 D.y=1-x 并用定义来证明所得结论 2.随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含 氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压 强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa 时，y=108g/m3,则y与x的函数关系式为 A.y=3x(x≥0) B.y=3x Cy-分（≥0） D.yg 3.(多选题)已知f(x)=√x-√1-x,则( A.定义域为[0,1] B.f(x)ms=√2，f(x)无最小值 C.f八x)im=1,f(x)无最大值 8.已知函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(-1， D.f(x)m=1,f(x)min =-1 3),且关于直线x=1对称. 4.(多选题)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于 (1)求f(x)的解析式； f(x)的最大（小）值有如下结论，其中正确的是 (2)若m<3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值 域。 A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1 B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值，又有最 大值 C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D.当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小 值为f(a),当a>1时，f(x)在区间[0，a]上 的最小值为1 二、填空题 5.函数y=x2-2x+2(x≥-3)的单调递减区间 为 6.已知函数f(x)在区间[2，+0)上是增函数， 则f(2) f(x2-4x+6).(填“≥”“≤” 或“=”) —212x…-2-101234 「x2+x-2,x≥2， 所以f(x)= -503430-5… Lx2-x+2,x<2. 描点，连线，得函数图象如图 (2)当x≥2时，)为以x=一弓为对称轴，开口向上的抛物 线，当x<2时)为以=为对称轴，开口向上的抛物线， 所以f代x)的图象如图所示： (1)根据图象，容易发现f代0)=3，f1)=4,f3)=0, 所以f(3)<f0)<f1). 12 (2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x)<f代2) (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口 所以函数)的值城为[子，+“）】 向下的抛物线，因此，函数的值域为（一∞，4] 3x,0≤x≤6， B组素养提升 18.(1)y={18+5(x-6),6<x≤15 1.B当a≤0时，由f代a)=-a=4,得a=-4; 63+10(x-15),x>15. 当a>0时，由fa)=a2=4,得a=2或a=-2(舍去). (2)因为93>63，所以63+10(x-15)=93→x=18 所以a=-4或a=2. 即此用户该月的用水量为18吨， 2.C因为居住在本市的某户家庭2023年的年用水量为200 练案[20] m,所以该户家庭2023年应缴纳的水费为y=180×5+(200 -180)×7=1040(元). :A组基础自测 3.BC定义域是[-2，+)，故A错误；当-2≤x<1时，0≤1.B选项A,C,D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y= fx)≤4，当x≥1时，(x)≤1，故f(x)的值域为(-0,4]，故+2在(0,2)上是增函数 B正确：(x)=2在x≥1上无解，故-2≤x<1时，代x)=x2=2.C若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用 2,得到x=-√2，故C正确；当-2≤x<1时，令f代x)=x2<1, “U”连接 解得xe（-1,1),当x≥1时，令f(x)=-x+2<1,解得x∈ :3.A单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C,D 不对，B表述不当 (1,+0),故f(x)<1的解集为(-1,1)U(1,+∞)，故D !4.C当a>0时，最大值为4a-b,最小值为2a-b,差为2a,.a 错误. =1;当a≤0时，最大值为2a-b,最小值为4a-b,差为-2a, 4.ABC由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以！ .a=-1. N,M点不可能：若是P点，则从最高点到C点依次递减，与题 中图2矛盾，因此不可能是P点，故选ABC. 5.Cfx)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a, .函数f(x)图象的对称轴为直线x=2, 5.-√6或4当x0≤2时，x后+2=8，.x后=6,6=±6， .f(x)在[0,1]上单调递增. 0≤2，.x0=-6. 又'：f(x)min=f0)=a=-2, 当x0>2时，2x0=8,x0=4. .f代x）ma=f八1)=-1+4-2=1， 综上可知x=-6或4. 6.A由于函数f(x)=1x-aI的图象是将函数f代x)=IxI向左 6.(-0,1]由题意知 (或右)平移1al个单位得到的：故函数f(x)=Ix-a在(-∞， )=2-x,≥L, a)上单调递减；在(a,+∞)上单调递增；因为函数f(x)=lx-al <1. 对于区间(-0，-1)上任意的x,:(x1≠)均满足 画出图象为 八，）-）<0，所以函数在(-0，-1)上单调递减，由函数的 2一x1 性质可得a≥-1.故a的取值范围为[-1，+∞). 7.(-∞，1)和(1，+∞)由图象可知f(x)的单调递增区间为 （-,1)和(1，+). 8.1 由图易得函数f(x)的值域为(-∞，1]. 西数)=x-2在[1,2]上是增函数当=2时 7.(1)当x≥2时，fx)=x+x-2, 取最大值f(2)=2-1=1. 当x<2时，fx)=x2-x+2, 9.证明：设任意x1,x2∈（-2，+0)，且2<x1, 339 则)-f)=5+1 X2-x1 上是增函数，f(2)≤fx2-4x+6). 3+2x1+2(x1+2)(x2+2)’ 因为x1>2>-2, 音1+ 所以x2-x1<0,x1+2>0,x2+2>0, 定义域为xlx≠1}，值域为{yly≠1}. x2-x1 (2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明 所以x+2)+2)<0, 此结论， 所以fx)>fx2), 证明：任取x1,x2e(2,5), 所以函数f代x)在(-2，+0)上单调递增. 设x1<x2, 10.f)=lx1(x+1）={-(x≤0) 则)-)名 X2 x2-x1 的图象如图所示 1x2+x(x>0) 因为2<x1<2<5, y 所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0, 所以fx)>f代) 故函数在(2,5)上为减函数. :8.（1)因为函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(-1,3)且关于直 线x=1对称， rf八-1)=1-b+c=3, (D)f()在(-”，2]和[0，+)上是增函数，在 所以b 2=1, [-子0上是诚函数， 解得b=-2,c=0.所以f八x)=x2-2x (2)当1≤m<3时，f(x)mn=fm）=m2-2mf代x)ma=f3)= 因此(x)的单调增区间为(-0，-2]，[0，+0)，单调减 9-6=3, 所以f代x)的值域为[m2-2m,3]: 区间-2 当-1≤m<1时，f(x)m=f1)=1-2=-1,f代x)x=f(3) =3, (2)-2）=子2分）=子…在区间[-1,2]的 所以f代x)的值域为[-1,3]. 最大值为子 当m<-1时，f(x)n=f(1)=1-2=-1,f(x)mm=fm)=m2 -2m. B组素养提升 所以f代x)的值域为[-1，m2-2m]. 1.AB、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数， 综上当1≤m<3时f代x)的值域为[m2-2m,3]; 代入端点值，即可求得最值，故选A. 当-1≤m<1时，f(x)的值域为[-1,3]： 2.A由题意设y=kx,将(36,108)代入解析式，得k=3,故y= 当m<-1时，fx)的值域为[-1，m2-2m]. 3x.同时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0. 练案[21] 3AD要使)有意义，应满足≥0 1-≥00≤≤1，显然八x)在A组基础自测 [0,1]上单调递增，所f代x)ms=1fx)n=-1.故选AD. .D因为)=(+2e(-5,5).所以当x=-号 1 4.BCD函数f代x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上， 对称轴为直线x=1.在选项A中，因为fx)在区间[-1,0]上 时)有最小值-子 单调递减，所以fx)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A2.B)=(3a-1)x+b为增函数，应满足3a-1>0,即a> 错误；在选项B中，因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减，在 [1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为 3,故选B. f1)=1,又因为f(-1)=5f(2)=2f(-1)>f2),所以f代x)3.DA错误，x1,x2只是区间(a,b)上的两个值，不具有任意性； 在区间[-1,2]上的最大值为f代-1)=5，B正确；在选项C 中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2， B错误，无穷并不代表所有、任意：C错误，例如函数y一在 3]上的最小值为f2)-2,最大值为f代3)=5，C正确；在选项 (-,1)和1，+)上分别递减，但不能说)=在(-0,1) D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数，f(x)的最 U(1,+∞)上递减；D正确，符合单调性定义， 小值为fa),当a>1时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最 4C了=++1(+厂+子其对称轴为=子，在对 1 小值为1，D正确. 5.[-3,1]因为y=(x-1)2+1,所以单调递减区间为[-3， 称轴左侧单调递减， 1]. 6.≤x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，且f(x)在区间[2，+0）)： 六当x(-女，]时单调递诚 -340