第01讲 随机抽样及用样本估计总体讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第十章统计与统计案例 第01讲　随机抽样及用样本估计总体 【必备知识】 1、随机抽样 (1)简单随机抽样 ①放回：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样． ②不放回：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样． 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． (2)分层抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2、常用统计图表 (1)频率分布直方图 ①纵轴表示，即小长方形的高＝； ②小长方形的面积＝组距×＝频率； ③各个小长方形的面积的总和等于1． (2)其它统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的比例 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 描述数据随时间的变化趋势 3、用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：将数据从小、到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． (3)平均数：，反映了一组数据的平均水平． (4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离 (5)方差：(x是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)． 4、总体百分位数的估计 定义 意义 百分位数 一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．中位数就是一个50%分位数 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点 5、常用结论： （1）在频率分布直方图中 ①最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数； ②中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和． （2）数字特征的性质 ①若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为； ②数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变； ③若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2； ④，即各数平方的平均数减去平均数的平方．　　 考点01　随机抽样 【常见方法】1．抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．　　 2．分层抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量，根据该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体容量，根据分层抽样即按比例抽样，列比例式进行计算． (3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况． 【典例分析01】 1、用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 2、为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，国家卫生部、国家教育部、团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下： 16 22 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 35　83 92 12 06 76 若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是(　　) A．17 B．23 C．35 D．37 3、某中学高一年级有20个班，每班50人