06正、余弦定理在几何中的应用（求三角形面积的最值或范围）-（三角函数与解三角形专题）2024届高考数学

06正、余弦定理在几何中的应用（求三角形面积的最值或范围）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用） 一、单选题 1．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为（      ） A． B． C． D． 3．设点P在内且为的外心，，如图，若的面积分别为，x，y，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则面积的最大值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 6．在中，分别是角的对边，，，则当的面积取得最大值时，的值为（    ） A．4 B． C． D． 7．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若周长为15的三角形δ的三边长均为整数，则（    ） A．δ的任一边长不超过7 B．不同的δ的个数不超过8 C．δ的面积不小于4 D．δ的面积可能超过12 10．在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．的最大值为 C． D．角的最小值为 三、填空题 11．在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为 .    12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为 . 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，则三角形的面积，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为，，，，，凸四边形的一对对角和的一半为，则凸四边形的面积”．如图，在凸四边形中，若，，，，则凸四边形面积的最大值为 ． 14．如图所示，A，B是半径为2的圆周上的定点，C为圆周上的动点，，图中阴影区域的面积为S.在圆内随机取一点Q，记点Q取自阴影区域为事件D.事件D发生的概率 （用S表示），的最大值为 . 15．四边形中，，，，，则 ，的最大值 . 四、解答题 16．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ）和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在极坐标系中，圆的半径为，半径均为的两个半圆弧所在圆的圆心分别为，，是半圆弧上的一个动点，是半圆弧上的一个动点.    (1)若，求点的极坐标； (2)若点是射线与圆的交点，求面积的取值范围. 18．如图,已知外接圆的圆心O为坐标原点,且O在内部,. (1)求,求; (2)求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由正弦定理得：， ， ，，，，， ，解得：； 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， . 故选：B. 2．B 【分析】由条件可得，根据正弦定理可得，从而得出角,由余弦定理结合均值不等式可得，从而得出答案. 【详解】由，得 即，即 由正弦定理可得： ，则，即 由,则 由余弦定理可得,即 当且仅当时取得等号. 所以 面积 故选：B 3．B 【分析】由得到外接圆半径的平方，设，将x，y用表示，再结合二倍角公式化简即可得到答案. 【详解】因为，所以，设外接圆半径为r， 所以，解得， 设，则， ，， 故 当时，等号成立． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：引入变量，将均用变量表示，将最后结果表示为关于的三角函数，利用三角函数的性质求最值是解题的关键. 4．D 【解析】利用余弦定理求得角的值，结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得的面积的最大值. 【详解】由余弦定理得，所以，所以. 由余弦定理的推论得，又，所以. 若，由余弦定理的得， 当且仅当时取等号，所以，解得. 故. 因此，面积的最大值为. 故选：D. 【