05正、余弦定理在几何中的应用（几何图形中的计算）-（三角函数与解三角形专题）2024届高考数学重要

05正、余弦定理在几何中的应用（几何图形中的计算）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用） 一、单选题 1．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图是某所大学数学爱好者协会的会标，其内部是一个边长为的正五边形，外面一圈是五个全等的四边形.其中.则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（    ） A． B． C． D． 4．我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为，菱形边长约为，则该菱形较小角的余弦值约为（    ）(参考数据：，) A．0.333 B．0.4 C．0.5 D．0.667 5．在中，，，，动点在所在平面内且.给出下列三个结论：①的面积有最大值，且最大值为；②线段的长度只有最小值､无最大值，且最小值为；③动点的轨迹的长度为.其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面四边形A､B､C､D，己知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 7．在等腰梯形中，，，AC交BD于O点，沿着直线BD翻折成，所成二面角的大小为，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 8．“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（    ）． A． B． C． D． 9．托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是外一点，若，，，，，则（    ） A． B．4 C． D．8 二、多选题 11．如图，已知，M，N分别为两边上的点，，过M，N做圆弧，Q为的中点，且，则线段AQ长度的可能值为（    ）    A．2 B． C．5 D． 12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形DEF拼成的一个大等边三角形ABC，则（    ）      A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形的面积是三角形面积的19倍 13．如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．该外接圆的半径为 C． D．过作交于点，则 14．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D．点在点的北偏西方向上 三、填空题 15．在中，，M是的中点，，则 ， . 16．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米． 17．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 . 18．2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的画面，体现了中国“世界大同，天下一家”