04正、余弦定理在几何中的应用（求三角形中的边长或周长的最值或范围）-2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

04正、余弦定理在几何中的应用（求三角形中的边长或周长的最值或范围）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用） 一、单选题 1．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示为某学校的轮廓图，，其中为教学区，，墙长240米，为校门区域，其中，若要美化校门区域，决定在墙与上装饰高档墙贴，若已知该高档墙贴仅与墙的长度有关，则（    ）时，美化墙体造价最低（其中） A． B． C． D． 3．在某次骑行活动中，小李沿一条水平的公路向北偏东 方向骑行．当骑行到某处时，他看见某地标建筑恰好在其正西方向，距其100米的地方．继续骑行2分钟后，他看见该地标建筑在其西南方向，则小李骑行的速度是（    ） A．50米/分钟 B．100米/分钟 C．米/分钟 D．米/分钟 4．已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 5．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（    ） A．6 B．9 C．7 D．8 9．如图，在四边形中，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 10．在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 12．在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知内角分别为，且满足，则的最小值为 . 14．在中，角的对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为 . 15．如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧上一动点，B为半径上一点且满足，则的周长的最大值是 ． 16．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是 . 17．如图，某城市准备在由和以为直角顶点的等腰直角三角形区域内修建公园，其中是一条观赏道路，已知，，则观赏道路长度的最大值为 ． 18．某城市的市民文体活动中心有一块扇形的绿地（如图），已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为80米，现要在半径，以及上分别取一点，，，修建3条观光小道PQ，，，将扇形绿地划分为4个区域，并在这4个区域内分别栽种不同的花草，以供市民观赏．若观光小道每米的造价为200元，那么修建3条观光小道的最低总造价为 万元． 四、解答题 19．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 20．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值. 【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示. 由且可得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以，， 即，可得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得 ， 即，即，当且仅当时等号成立， 因此，这块四边形木板周长的最大值为