08向量新定义-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用）

08向量新定义-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用） 一、单选题 1．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．长方体的体积 2．向量与向量的向量积仍是向量，记作，它的模是，则（    ） A． B． C． D．0 3．定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号， ①.②.③.④.⑤. 则以上正确的编号为（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤ 4．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A． B． C． D． 5．对于个向量，若存在个不全为0的示数，使得：成立；则称向量是线性相关的，按此规定，能使向量，，线性相关的实数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中： ①； ②； ③； ④若，则． 其中恒成立的有 A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 7．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若，，则的值为（   ） A． B． C．8 D．6 8．设定义一种向量积：．已知， ，点 在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则的最大值A及最小正周期T分别为(　　) A．2，π B．2,4π C．，4π D．，π 二、多选题 9．若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（    ）    A．在上的投影向量为 B．在上的投影向量为 C．在上的投影向量为 D．在上的投影向量为 10．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（    ） A．线段A，B的中点的广义坐标为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则 D．若向量垂直于向量，则 11．设是大于零的实数，向量，其中，定义向量，记，则（    ） A． B． C． D． 12．引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量．如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为 ． 14．向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ② 若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确的命题的序号是 ． 15．已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是 （写出所有正确命题的编号）. ①有5个不同的值. ②若则与无关. ③若则与无关. ④若，则. ⑤若，则与的夹角为 四、解答题 16．平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”. （1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示； （2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求． 17．对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，． (1)若，求及； (2)证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使； (3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值． 18．我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记.已知分别为向是的@未来坐标.    (1)证明：； (2)若向量的“@未来坐标”分别为，，求向量的夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得. 【详解】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系， 且，所以选项A错误； 根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误； 因为， 且与同向共线； 又因为，且与同向共线， ，与同向共线， 所以，且与同向