07向量在几何中的应用（向量与几何最值）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用）

07向量在几何中的应用（向量与几何最值）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用） 一、单选题 1．如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 5．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 7．圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 10．如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为0 11．如图，在直角三角形中，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则（    ） A．点所在圆的半径为2 B．点所在圆的半径为1 C．的最大值为14 D．的最大值为16 三、填空题 12．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 . 13．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 14．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是 ．    15．如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则 ；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 .    16．如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为 ． 17．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是 ．    四、解答题 18．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为. (1)求的值; (2)求的最小值. 19．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 20．如图，在中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】方法一：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值； 方法二：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后建立平面直角坐标系，将问题转化为向量数量积的坐标表示，得出二次函数，最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可； 方法三：同方法二一样，但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将问题转化为平面向量坐标形式求解即可； 【详解】解法一  由，，， 得，， 所以，， ． 设，则，所以 ， 当且仅当时，取得最小值． 解法二： 由，，， 得，， 所以，， ，， 连接，交于点，则易知， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 所以． 设， 则， 所以， ，， 则 ， 当且仅当时，取得最小值． 解法三  由，，， 得，， 所以，， ，， 如图， 分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角