2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—四点共圆

· 四点共圆 · 判定方法 · 判定1：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 · 判定2：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆。 · 判定3：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 · 判定4：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 · 判定5：同斜边的直角三角形的顶点共圆。 · 判定6：若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。 · 判定7：若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆（割线定理）。 · 判定8：若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理）。 · 【学以致用】 1.（1）已知AB是的弦，且，点C是上的点，，则的半径=________： （2）如图1，在四边形ABCD中，，对角线，，求BD的长； （3）如图2，三个顶点坐标分别为，，，M、N分别是边AB，AC上的动点，在变化过程中MN的长度始终等于3，过点M、N分别作，直线MP与NP交于点P，连接PB，PC，求面积的最小值． 2.如图，等边三角形和矩形ABCD有共同的外接圆，且. （1）求证：； （2）在劣弧AB上有动点F，连接DF、CF、BF，DF分别交AE、AB于点M、P，CF交BE于点N． ①设与的周长分别为和，试判断的值是否发生变化，若 不变则求出该值；若变化请说明理由； ②若，求BF的长． 3.如图1，点E，F在正方形ABCD的边AD，DC上，且，BE与AF交于点G． （1）图1中与相等的角是________； （2）如图2，当时，连接DG， ①求的度数； ②过点G作DG的垂线分别交AD，BC于M，N，求的值． 4.（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. ①线段AD，BE之间的数量关系为________； ②的度数为________； （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及的度数； （3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点C到直线BP的距离. 5.（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为_______②______． （2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及的度数，并给出证明． （3）（解决问题）如图3，在中，，，，点D在AB边上，于点E，．将绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案） 6.已知如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴上两点，且m，n满足，点是y轴正半轴上的动点. （1）求三角形的面积（用含h的代数式表示）； （2）过点P作，，且，. ①连接AD，BC相交于点E，再连PE，求的度数； ②连CD与y轴相交于点Q，当动点P在y轴正半轴上运动时，直接写出PQ的长度. 7.（1）如图1所示，和均为等腰直角三角形，且，，，连接AD、BE，求的值； （2）如图2所示，在中，，，，过点A作，点P是射线AM上一动点，连接CP，做交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值． 8.如图，菱形ABCD的边长为1，，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N． （1）求证：； （2）求的最小值； （3）当点E在AB上运动时，的大小是否变化？为什么？ 9.如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中，，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E． （1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）求证：CD平分； （3）过点D作交AB于点F，求证：． 10.【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图①，对余四边形ABCD中，，，CD=4，连接AC．若，求的值； （2）如图②，凸四边形ABCD中，，，当时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点，，，四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于内部，．设，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式． 11.在中，，，点D在边BC上，且，AE交边BC于点F，连接CE． （1）特例发现：如图1，当时， ①求证：； ②推断：________； （2）探