2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—因式分解

· 因式分解 定义：把一个整式写成几个整式乘积的形式，称为因式分解。在因式分解中，通常要求每个因式都是既约多项式（不可约多项式），这样的因式称为质因式。 因式分解常用的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，待定系数法等。 · 一、提公因式法： · 二、公式法 ①平方差公式： ②完全平方和公式： ③完全平方差公式： ④立方和公式： ⑤立方差公式： ⑥完全立方和公式： ⑦完全立方差公式： ⑧三项平方和公式： ⑨三项立方公式： · 三、分组分解法 有一些整式（如：）既没有公因式可提，也不能运用公式直接分解，这样的式子需要采用分组分解法。 · （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 解：原式= = = 例2、分解因式： 解：原式= = = · （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式： 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = = · 【举一反三】 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 · 四、十字相乘法 · （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 十字相乘法需满足的条件：凡是能十字相乘的二次三项式，都要求，而且是一个完全平方数。 例5、分解因式： 解：原式= = 例6、分解因式： 解：原式= = · 【举一反三】 13、 14、 15、 16、 17、 18、 · （二）二次项系数不为1的二次三项式—— 条件：（1） （2） （3） 分解结果：= 例7、分解因式： 分析： （）+（）= 解：原式= · 【举一反三】 19、 20、 21、 22、 · （三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式： 分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 解：原式= = · 【举一反三】 23、 24、 25、 · （四）二次项系数不为1的齐次多项式 例9、 解：原式= 例10、 解：原式= · 【举一反三】 26、 27、 28、 29、 30、 31、 32、 33、 34、 35、 36、 37、 · 五、换元法 · （一）换单项式 例11、分解因式 分析：注意到，若把单项式换元，设，则。 解：原式= = = · （二）换多项式 例12、分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2 分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设，则，。 解：原式= = = = = = = 以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”。当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”。比如，设，则。 解：原式= = = = = = = 另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算。 对于本例，设，则，。 解：原式= = = == 例13、分解因式 分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把分组为，从而转化成例12形式加以解决。我们采用“均值换元法”，设，则。 解：原式= == = · （三）换常数 例14、分解因式 分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效。注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设，则。 解：原式= = = = = 例15、分解因式 解：（1）