2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—一线三垂直

· 一线三垂直 · 模型概述 · 模型一：等腰三垂直全等模型 （1）如图所示，以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形。 结论： ① ②AD=CE，BD=AE （2）如图所示，以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形。 结论： ① ②AF=CE，BF=AE · 模型二：等腰直角对直角全等模型 如图所示，等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形。 结论： ① ②AE=AF，BE=CF · 【学以致用】 1.【模型建立】如图，已知直角中，，，过点C任作一条直线（不与CA、CB重合），过点A作于D，过点B作于E．易证．进一步得到全等三角形的对应线段和对应角分别相等．这一证明在平面直角坐标系中也被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1．若一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点．若点B到经过原点的直线的距离BE的长为4，求点A到直线的距离AD的长； （2）如图2．已知直线与轴交于B点，与轴交于A点．过点A作于A，截取过点B，C作直线，求直线BC的解析式； 【模型拓展】 （3）如图3，平面直角坐标系中，在中，，，AB与轴交点D，点C的坐标为．A点的坐标为，求B，D两点坐标． 2.已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，，，直线MN经过点A，于点D，于点E. （1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系。 3.如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角，且，过C作轴于点D，OB的垂直平分线交AB于点E，交轴于点G，连接． （1）求直线BC的函数表达式； （2）求证：线段EG为的中位线； （3）点N在直线MG上，使得，求点N的坐标． 4.如图1，已知，在中，，，，垂足分别为D，E，且. （1）求证：； （2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断的形状，并说明理由． 5.（1）模型建立：如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E． 求证：; （2）模型应用：①如图2，已知直线与轴交于A点，与轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式； ②如图2，在直线AC上有一动点P，在轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标： （3）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件点D的坐标． 6.如图，已知四边形ABCD和均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使，连接AK，KF，HF，AH． （1）求证： （2）求证：四边形是正方形； （3）若四边形的面积为10，，求点A，E之间的距离． 7.如图，四边形ABCD中，，P是线段上一点，. （1）如图1，若，，求证：. （2）如图1，在（1）的条件下，问、、之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明； （3）如图2，若，且，，问、、之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明. 8.如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题： （1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时，________度； （2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，于N，若，，求MN． （3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由． 9.如图，已知：中，，，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点. （1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是________； （2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作于点E，过点C作于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是________； （3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：； （4）如图4，已知，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作于点E，过点C作于点F，设线段的长度为，线段CF的长度为，试求出点P在运动的过程中的最大值. 10.请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题： （1）探究1：如图1，在中，，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接CD．则的面积是________ （2）探究2：如图2，在中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接CD．求的面积，并说明理由． （3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线