2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—三角形内切圆

· 三角形内切圆 · 三角形内切圆半径 1、任意三角形 2、直角三角形 · 【学以致用】 1.已知关于的一元二次方程 （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若的斜边为2.5，另外两条边的长恰好是方程的两个根，，直接写出的内切圆半径． （3）若方程的两个实数根为，，函数，当函数值t为正整数时，求整数的值； 2.如图1，中，，，，点D在AB上，，交AC于点E．如图2，绕点A顺时针旋转，旋转角满足． （1）判断的值是否变化，并说明理由； （2）如图3，若绕点A顺时针旋转过程中，点E经过内心点． ①求线段长度； ②当点E运动到点P时，求； （3）在（2）的条件下，当的垂心在内部时，直接写出CE的取值范围． 3.如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，交BC于F． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）若，，求DE的长． 4.（特例感知）（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离． （类比迁移）（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由． （问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，BD平分，，，求的内心与外心之间的距离． 5.如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于E．过A点作于点D，交于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是的切线； （2）求证：E为的内心； （3）若，，求PO的长． 6.问题探究 （1）如图①，在中，，BD平分，，，则的面积为________. （2）如图②，在中，，BC边上的高，外接圆的半径为4，求的面积； 问题解决 （3）如图③，现要修建一个形状为的水上乐园，并在BC边上的点D处建一个储物间，其中，AD平分且m，为节约成本，水上乐园管理部门计划使的面积尽可能的小，问能否修建一个满足要求的面积最小的？若能，请求出的最小面积，若不能，请说明理由．(结果保留根号) 7.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则①，这是中国古代数学的瑰宝之一． 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则②. （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②①）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记，S为三角形面积，则． 8.如图，已知在中，，，垂足为点H．点D在边AB上，且，连结CD交AH于点E． （1）如图1，如果，求AH的长； （2）如图2，圆A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交线段AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与圆A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与圆A内切，求边BC的长； （3）如图3，连结DF．设，的面积为y，求关于的函数解析式． 9.如图，以的直角边AB为直径的交斜边AC于点D，过点D作的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H． （1）求证：E为BC的中点； （2）若的面积为，两个三角形和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形OBED的外接圆面积的比． 10.如图，是的外接圆，BC为的直径，点E为的内心，连接AE并延长交于D点，连接BD并延长至F，使得，连接、． （1）求证：； （2）求证：直线CF为的切线； （3）若，求图中阴影部分的面积． 11.如图，在中，AD是边BC上的中线，，，CE交BA的延长线于点E，，． （1）求CE的长； （2）求证：为等腰三角形． （3）求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． 12.在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线于点M，BC边交x轴于点N（如图1）． （1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积； （2）设的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论； （3）设，当m为何值时的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时内切圆的半径． 13.已知I是的内心，AI延长线交外接圆于D，连BD． （1）在图1中，求证：； （2）如图2，若AB为直径，且于I点，DE切圆于D点，