2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—将军饮马

· 将军饮马 · 知识背景 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。 · 模型概述 将军饮马模型主要是指求路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。 · 基本原理 1、两点之间，线段最短； 2、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3、中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4、垂线段最短。 · 基本模型 · 模型一：一条定直线，异侧两个定点，一个动点，求和最小。 1、如图，定点A、B分布在定直线l两侧，在直线l上找一点P，使的值最小。 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求，PA+PB的 最小值即为线段AB的长度。 理由：在l上任取异于点P的一点，连接、， 在中，，即 ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小。 基本原理：三角形两边之和大于第三边；两点之间，线段最短。 · 模型二：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求和最小。 2、如图，定点A和定点B在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点，连接交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段的中垂线，由中垂线的性质得：，要使PA+PB最小，则需值最小，从而转化为模型1。 基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 · 模型三：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求差最大。 3、如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等），在直线l上找一点P，使的值最大。 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时，在l上任取异于点P的一 点，连接、，由三角形的三边关系知，即. 基本原理：三角形两边之和大于第三边。 · 模型四：一条定直线，异侧两个定点，一个动点，求差最大。 4、如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等），在直线l上找一点P，使的值最大。 解：作点B关于直线l的对称点，连接并延长交 于点P，点P即为所求； 理由：根据对称的性质知l为线段的中垂线，由中垂 线的性质得：，要使最大，则需值最大 ，从而转化为模型3。 基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 · 模型五：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线同侧，求和最小。 5、如图，A为锐角∠MON外一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小。 解：过点A作于点Q，AQ与OM相交于点P，此 时，AP+PQ最小； 理由：，当且仅当A、P、Q三点共线时， AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小。 基本原理：垂线段最短。 · 模型六：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，求和最小。 6、如图，A为锐角∠MON内一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小。 解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小； 理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小， 只需A′P+PQ最小，从而转化为模型5。 基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等，垂线段最短。 · 模型七：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，求和最小。 7、如图，A为锐角∠MON内一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使的周长最小。 解：分别作A点关于直线OM的对称点A1，关于ON的对 称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点 P和点Q即为所求，此时周长最小，最小值 即为线段A1A2的长度； 理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，的周 长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线 时，其值最小。 基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。 · 模型八：两条定直线，一条定线段，两个动点，定线段在两直线异侧，求和最小。 8、如图，A、B为锐角∠MON内两个定点，在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小。 解：作点A关于直线OM的对称点，作点B关于直线 ON的对称点，连接交OM于P，交ON于Q，则 点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即 为线段AB和的长度之和； 理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为，将QB转化为，当、P、Q、四点共线时，的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小。 基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。 · 模型9：两条平行直