2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—二次函数中的等角问题

· 二次函数中的等角问题 在近几年各地中考及模拟考中，二次函数背景下等角问题成为热点。等角出现的方式有直接给出等角、角平分线出现等角、平移旋转变换出现等角、相似或全等出现等角、轴对称构造等角等。 · 解题策略 · 1、利用角平分线与平行线转化为等腰； · 2、利用辅助圆中同弧或等弧所对的圆周角相等实现转化； · 3、利用轴对称实现角度转化； · 4、通过内错角相等、等角的余角相等实现角的转化； · 5、通过角度的和与差进行等角变换。 · 【学以致用】 1.如图，抛物线与轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与轴交于点C，． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当时，求点F的坐标． （3）如图2，点E的坐标为，在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，直线与轴、轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线与轴的另一个交点为C． （1）确定抛物线的解析式及点C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3.二次函数的图象经过点，，与轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）①求点P到AC直线距离的最大值； ②连接，当时，求直线BP的表达式； （3）点F是抛物线上一点，是否存在一点F使得. 4.抛物线交轴于A、B两点（点A在点B左边），交轴于点C． （1）直接写出点A，点B的坐标以及抛物线的对称轴； （2）如图（1），若，点E在轴下方的抛物线上，满足，求点E的坐标； （3）如图（2），已知点，点P是抛物线上一动点，以点P为圆心，PD为半径作，直线与始终相切，求和分别与的数量关系． 5.如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点C， （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线BC下方抛物线上一点，求当面积最大时P点的坐标； （3）若D点坐标为，在抛物线上是否存在点M使，若存在求出M点坐标，若不存在说明理由． 6.如图，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点C．直线经过点B，C．抛物线的对称轴与直线BC相交于点P. （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线经过AB两点，与轴的另一个交点为C． （1）直接写出点A和点B的坐标． （2）求抛物线的解析式． （3）D为直线AB上方抛物线上一动点． ①连接DO交AB于点E，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 8.如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于点C，交轴于点A，B，A点坐标为，B点坐标为，连接AC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，点D是BC上方的抛物线上的一点，连接CD，BD，请判断的面积是否能够和的面积相等，并说明理由； （3）如图②，抛物线上一点，连接MC，若，求的值． 9.如图，抛物线（其中）与轴交于A、B两点，与轴交于点C、在该抛物线的对称轴上，且. （1）点A的坐标为________，用含的式子表示点D的坐标为________. （2）若与的面积之比为，求该抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，若动点P在该抛物线上，且当时，求点P的坐标 10.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C. （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接BC，点D是BC上方抛物线上的动点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当时，求的值； （3）如图，点的坐标为，在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 11.若二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且过点． （1）求二次函数表达式； （2）如图1，若点P为抛物线上第一象限内的点，且，求点P的坐标； （3）如图2，在AB下方的抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 12.如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C，连接AC，抛物线与L关于轴对称. （1）求抛物线L的函数表达式和点C的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 13.综合与探究 如图1，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中，，与轴相交于点C，抛物线的对称轴与轴交于点E．点P是抛物线上的一个动点． （1）求