2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—手拉手模型

· 手拉手模型 · 模型概述 所谓手拉手模型，满足三个条件:①有共顶点的角;②共顶点 角的度数相等;③两个角的两边对应相等．以上的条件在题目中 通常会直接告知，或者两个等边(等腰)三角形有一个顶点重合， 还可以是两个边长不等的正方形有一顶点重合等其他的正多边 形都可以． · 基本模型 结论： 结论：（1）；（2）OA平分∠BOC。 · 基本原理 1、利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角画出旋转后的三角形 2、旋转前后具有以下性质 （1）对应线段和对应角分别相等 （2）任意两条对应线段的夹角都等于旋转角 3、八字模型 如图所示，若，则。 【学以致用】 1、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________. （2）如图1，已知格点(小正方形的顶点)，，，请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标． （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转，得到△DBE，连接AD、DC，．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． （4）若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到连接AD、DC，则∠DCB=________，四边形ABCD是勾股四边形． 2、图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，. （1）如图2，固定，将绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时， ①求证：是等边三角形． ②设的面积为S1，的面积为S2，探究S1与S2的数量关系并证明． （2）当绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． 3.问题发现：（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于CB延长线上时，线段AC的长可取得最大值，则最大值为________．（用含a，b的式子表示） 尝试应用： （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，M，N分别为AB，AD的中点，连接MN，CE．AD=5，AC=3. ①请写出MN与CE的数量关系，并说明理由； ②直接写出MN的最大值． （3）如图3所示，为等边三角形，DA=6，DB=10，，M、N分别为BC、BD的中点．求MN长； （4）若在第(3)中将“”这个条件删除，其他条件不变，请直接写出MN的取值范围．   4.如图1，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，连接EN． （1）求证：； （2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为的费尔马点．若点M为的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数； （3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图2，分别以的AB、AC为一边向外作等边和等边，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为的费尔马点．试说明这种作法的依据． 5、（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. ①线段AD，BE之间的数量关系为________； ②∠AEB的度数为________； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数； （3）解决问题：如图3，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点C到直线BP的距离. 6、（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则： ①∠AEB的度数为________； ②线段AD、BE之间的数量关系是________． （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，若AD=a，AE=b，AB=c，求a、b、c之间的数量关系． （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由． 7、如图1，和都是等腰直角三角形，，点B在线段AE上，点C在线段AD上． （1）请直接写出线段BE和线段CD的关系：________； （2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转角， ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当时，探究在旋转的过程中，是否存在这样的角，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的角的度数；若不存在，请说明理由． 8、已知是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD