2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—十字模型

· 十字模型 · 基本模型 · 模型1：正方形 1、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是CD、AD上的 两点，则有（互逆） 2、如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别在CD、AD、 BC边上，则有（不互逆） 3、如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、 CD、AD、BC边上，则有（不互逆） · 模型2：矩形 4、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点，则有 . · 【学以致用】 1.问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，，于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE与AF相交于点G，，，，，求DE的长． 2.已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． 观察猜想：（1）如图1，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为：________，位置关系为：________ 探究证明：（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且，求证：； 拓展延伸：（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论. 3.如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①，②（不需要证明）． （1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”） （2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图④，在（2）的基础上，连结和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并写出证明过程． 4.如图，已知中，，先把绕点B顺时针旋转至后，再把沿射线AB平移至，DE、FG相交于点H． （1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由； （2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形． 5.如图，已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE，过点A作．垂足为点F，且，过点F作，与AB、CD边分别交于点M、N，求证：四边形AMND为正方形． 6.在中，，以斜边AB为边向形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1） （1）求证：EO平分． （2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明． （3）过点C作于F，过点D作于H，CF和的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形为正方形． 7.如图①，在正方形中，点E，F分别在AB、BC上，且． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 8.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，连接BE，过点C作于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H． （1）求证：； （2）当时，求线段GH的长． 9.如图，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD边上的点，AF和EG交于点H．现在提供三个关系：①；②；③. （1）从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题．写出该命题并证明； （2）若，EG垂直平分AF，设. ①求的值（含的代数式表示）； ②连接FG，点P在FG上，当四边形是菱形时，求的值． 10.如图，在正方形ABCD中，G是对角线AC的中点，点H是边CD上一动点，连接BH，，，垂足分别为E，F，连接EG，FG． （1）求证：①；②； （2）若，H是CD的中点，求的长． 11.【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最短距离为________； 【直接运用】（2）如图1，在中，，，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是________； 【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由； 【灵活运用】（4）如图3，的半径为4，弦，点C为优弧AB上一动点，，交直线CB于点M，则的面积最大值是________． 12.如图1，已知正方形ABCD和正方形，点F，C，B在同一直线上，连接BE，DF，DF与EG相交于点M． （1）求证：； （2）如图2，N是BC