2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—胡不归与阿氏圆

· 胡不归与阿氏圆 · 知识背景 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉家乡 年迈的老父亲病危的消息后，便日夜兼程回家。由于思 念心切，他选择了一条全是砂砾地带的直线路径。当他 气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气。小伙子 不禁失声痛哭，老人的邻居告诉他，在弥留之际，老人不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？……”并用很可惜的语气问：“你为什么不先沿着驿道走一段呢？”老人在弥留之际念叨“胡不归”，虽然只是表达了对儿子的思念，但儿子对回家路线的不当选择，也是造成父子不能相见的重要原因。小伙子由于心急选择了最短路径AP，虽有一定道理，但他忽略了在驿道上行走要比在砂砾地带上行走更快这一因素，如果他能选择一条更合适的路线，先沿着驿道行走一段AC，再沿着砂砾地带行走一段CP，尽管这条路线要长一些，但可以节约时间，从而能够提前到家。于是，问题就成为：如何确定点C的位置，能使所用的总时间最少？这便是古老的“胡不归”问题。 阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 · 模型概述 “”型的最值问题。 点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 · 基本原理 （1）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）两点之间，线段最短； （3）垂线段最短。 · 基本模型 · 模型一：点P在直线上运动：“胡不归”问题 1、如图所示，已知，点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当PA+k·PB的值最小时，P点的位置如何确定? 解：过点P作PQ⊥BN垂足为Q， 则， ∴PA+k·PB的最小值转化为求PA+PQ的最小值， 当A、P、Q三点共线时，PA+PQ最小。 · 模型二：点P在圆上运动：“阿氏圆”问题 2、如图所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当PA+k·PB的值最小时，P点的位置如何确定？ 解：在线段OB上截取OC使OC=k·r， ∵ ∴ ∴，即 ∴的最小值转化为求的最小值 当A、P、C三点共线时，最小。 · 【学以致用】 1、如图，在直角坐标系中，，，，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ） A． B． C． D． 2、如图，一条笔直的公路穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．) 3、如图，在中，AB＝AC＝10，，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是________. 4、如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为； （3）为抛物线对称轴上一动点 ①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有多少个？ ②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围． 6、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是多少？ 7、如图，在中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）证明：CE是⊙O的切线； （2）若中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； （3）设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 8、抛物线与轴交于点A、B(A在B的左边)，与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标. 9、如图，已知抛物线(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使