2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—二次函数中特殊图形的存在性问题

· 二次函数中特殊图形的存在性问题 · 平行四边形存在性问题 抛物线中的平行四边形存在性问题是中考的常考题型之一。其解决问题的关键：一是恰当地分类，分类适合，结果的个数找得又快又准确；二是通过画图，利用平行四边形的性质，通过计算加以解决。 · 类型一：已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点，探究其存在性 已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点时，先以这三个点为顶点构造三角形，然后过每个顶点画对边的平行线，三条平行线两两相交，形成三个交点，这三个交点都是符合题意的平行四边形的第四个顶点。 · 类型二：已知平行四边形的两个顶点，求另两个顶点，探究其存在性 已知平行四边形两个顶点，求另外两个顶点，通常以这两个顶点确定的线段，分别作为平行四边形的边或对角线构造平行四边形，作为边时通过平移得到另两个顶点，作为对角线时通过中点坐标公式得到另两个顶点。 · 直角三角形存在性问题 · 解题策略 · 方法一：勾股定理法 勾股定理法，主要是利用两点间距离公式、勾股定理进行求解。解题步骤可分为三步：第一步，确定直角三角形三个顶点的坐标，动点的坐标用参数表示；第二步，用两点距离公式表示出直角三角形三边长中每一边的平方；第三步，分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出参数的值. · 方法二：解析法 分别过两个已知点作垂线，再以两个已知点连线为直径作圆，两条垂线与动点所在直线的交点，以及圆与动点所在直线的交点，就是所求作的点。因为两条直线垂直时，其比例系数k的乘积为，所以由已知直线的解析式可以求出其垂线的解析式。 · 方法三：K形相似法 K形相似法，就是构造“一线三直角”的几何模型，得到相似的两个直角三角形，利用相似三角形对应边成比例可求得线段的长，从而确定点的坐标。在与y轴平行的直线上求线段长用“上减下”，在与x轴平行的直线上求线段长用“右减左”。 · 相似三角形存在性问题 · 解题策略 · 一、已知一组对应角相等 相似三角形存在性问题的最常见题型是：两个目标三角形或显然、或隐含有一组对应角相等（如公共角、对顶角、直角、平行条件下的同位角、内错角等）。根据两个三角形相似的判定方法，在已知一组对应角相等的前提下，只需再判定这两个角的夹边对应成比例，或另外再寻找一组角对应相等，因此会出现如下几种分类讨论的情况。 · （一）隐角相等之对应边成比例 （1）在处理此类三角形相似的分类讨论问题时，首先应该挖掘题目中是否隐含一对确定的对应元素（对应角相等的情况较多），然后可以分为两种情况进行分类讨论。 （2）在对边进行分类讨论时，应先罗列出四条夹边的值或代数式，然后根据对应边的两种不同对应情况进行轮换，列出比例式。 · （二）隐角相等之对应角相等 （1）在三角形相似的判定方法中，已知一角对应相等，可以补充两条夹边对应成比例，或另一组对应角相等。当夹边的长度不容易计算时，可以通过对角的对应情况进行讨论来解决。 （2）由于讨论后得到两角相等，因此相似的问题通常会转化为平行线、等腰三角形或角平分线等问题处理。 · 二、没有一组对应角相等 因相似三角形存在性问题通常与动点、动图等问题结合，因此常常涉及图形变换。在有些变换过程中，动三角形的三个内角中有一个角是固定不变的，但是也有运动过程中三个角都在改变的情况，此时无法直接运用相似三角形的判定方法进行分类讨论，需要首先对第一组角对应相等的情况进行讨论，大抵会出现如下两种情形。 · （一）邻角必为 （二）讨论第一组角相等 · 【学以致用】 1.如图所示，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数关系式： （2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由． （3）直线交轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 3.如图，抛物线的顶点A在直线上，设抛物线与轴交于点B，与轴交于点C、D（C点在D点左侧） （1）求抛物线顶点A、B、D的坐标； （2）在直线上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，直线与轴交于点，与轴交于点C，抛物线经过点A，C，与轴的另一个交点为B，连接BC． （1）求抛物线的表达式；