2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—乘法公式

· 乘法公式 · 基础公式： （1）平方差公式： （2）完全平方和公式： （3）完全平方差公式： · 拓展公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） · 【学以致用】 1. 阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题： （1）用配方法将化成的形式，则________. （2）用配方法和平方差公式，把多项式进行因式分解； （3）对于任意实数，，多项式的值总为________（填序号） ①正数②非负数③0 2.探索： ； ； ； ；… （1）试写出第5个等式； （2）试求的值； （3）判断的值的个位数字是几． 3.如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：. 请你结合以上知识，解答下列问题： （1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式________. （2）根据图3得到的结论，解决下面的问题：若，，求代数式的值． （3）小华同学用图4中张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求代数式的值． 4.如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含，的代数式表示_________，________ （2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：________. （3）利用你从（2）中写出的公式，完成下列问题： ①计算 ②计算 5.（1）填空： ________； ________； ________. （2）猜想： ________（其中为正整数，且） （2）利用（1）猜想的结论计算： ①； ②. 6.下表在我国宋朝数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． （1）观察杨辉三角，第6行从左到右第3个数是________； （2）我们知道，当时，，，，，观察每个式子的各项系数与杨辉三角的关系，________(直接写出答案)； （3）若，，，求代数式的值． 7.在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来解决问题． 材料一；我们把形如及的多项式叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫配方法． 例：因式分解． 解： 材料二：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解；因为，所以，即 所以，所以 根据材料回答问题： （1）阅读材料一，分解因式． （2）已知，利用材料二的倒数法求的值． （3）在（2）的条件下，求. 8.【阅读理解】我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答： 设，，则，， 所以. 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： （1）若满足，则的值为________； （2）若满足，求的值； （3）如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分（四边形）是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积. 9.在二次三项式中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，使整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：，，求的值． 10. 阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算：. 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）________； （2）判断：的个位数字； （3）化简：（，且，不为0）. 11. 图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形. （1）你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于________. （2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积. （3）观察图，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，. （4）若，，求的值. 12.阅读下列解题过程： 已知，，求的值． 解：因为，所以， 即 因为，所以. 回答下列问题： （1）若，，则________，