2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—截长补短

· 截长补短 · 基本模型 当题目中出现线段之间的倍数关系时，考虑用截长补短法.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线的关键词. · 模型1：截长补短法 1、如图，AD平分，求证：AB+BD=AC. 截长法：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明CE=BD 即可. 补短法：延长AB至点F，使AF=AC，连接DF，证明 BF=BD即可. · 模型2：构造倍的线段 2、如图，在中，，， . 结论：（1） （2） · 模型3：构造倍的线段 3、 如图，在中，，. 结论：（1） （2） · 【学以致用】 1、 如图，在中，，于点D，求证：. 2、 如图，内接于，，点D为劣弧上一点，过点A作，垂足为H，求证：. 3、 如图、在中，，，点P是内部一点，且，求证：. 4、 如图，是边长为1的等边三角形，是顶角为的等腰三角形，点M、N分别在AB、AC上，且，连接MN，求的周长. 5、 如图，在中，，过点A作，交DC的延长线与点F，交BE于点G，且，求证：. 6、 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF. 【问题解决】 如图①，若点D在边BC上，求证：. 图① 【类比探究】 如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE、CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由. 图② 7、 在正方形ABCD中，点E为射线AD上一点，现将正方形沿BE折叠，使点A落在点处，作射线交CD边所在的直线于点F. 图① 图② 图③ （1） 如图①，当时，求证：； （2） 如图②，当射线交CD的延长线于点F时，猜想线段AE、CF、BF之间的数量关系并证明； （3） 如图③，当射线交DC的延长线于点F时，猜想线段AE、CF、BF之间的数量关系并证明. 8、 如图，四边形ABCD为正方形，点M，N分别是线段BC，CD上的动点，且始终保持. 图① 图② 图③ （1） 如图①，当点M，N分别在线段BC，DC上时，请直接写出线段BM，MN，DN之间的数量关系； （2） 如图②，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，写出正确的结论，并证明； （3） 如图③，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，若，连接AN与BD交于点Q，设DB的延长线与AM的延长线交于点P，直接写出AQ、AP的长. 9、 在等腰中，，点O为AB的中点，M、N分别在直线AC、BC上，且. 图① 图② （1） 如图①，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：； （2） 如图②，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，并证明； （3） 若，，求MN的长. 10、如图，在中，，，点D是边AB上一点，过点A作与点E，连接BE，若，求证：. 11、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，连接PC，证明：. 12、如图，内接于，AB是直径，点E为上一点，且，求证：. 13、如图、在中，，，，D为BC边上一点，连接AD，作交MN于点E，连接AE.求证：. 14、如图，已知是的内接三角形，，，在所对的上，任取一点D，连接AD，BD，CD.求证：. 15、如图，在中，，，点E在BC上，点D在AB上，，连接DE，，，垂足为H，证明：. 16、如图是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，，. （1） 如图①，若延长DA到点E，使，连接CD，CE. ①求证：，； ②求证：； 图① （2） 若与位置如图②所示，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系. 图② 17、如图①，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA延长线上，，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，. 图① 图② （1） 求证：； （2） 若，求AE的长； （3） 如图②，连接AG，求证：. 18、在中，，点D在直线BC上，点E是射线AB上一点，直线DE交直线AC于点F，且，. （1） 如图①，当点D在BC的延长线上，点E在线段AB上时，求证：； （2） 如图②，当点D在CB的延长线上，点E在线段AB上，探究线段DE与AC之间的数量关系，并证明； （3） 如图③，当点D在线段BC上，点E在AB的延长线上时，探究线段DE与AC之间的数量关系，并证明. 图① 图②