2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—瓜豆原理

· 瓜豆原理 · 模型概述 一条折线段，固定其折点；邻边定比例，夹角不改变。主动于直线，从动于直线，主动于(弧)圆，从动于(弧)圆。正所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，“直线生直线”，“圆生圆”，即瓜豆原理。 命题1：如图，若A、B、C为平面内的三个点，点A 为定点，点B在定直线l上运动，在运动过程中，保持 ，且不变． 则点C也在某一定直线上运动。 命题2：如图，若A、B、C为平面内的三个点，点A 为定点，点B在半径为r的定⊙O上运动，在运动过程 中，保持，且 不变．则点C也在一定圆上运动。 · 基本模型 · 模型一：轨迹之圆篇 例1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解：∵Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半， ∴任意时刻，均有，QM:PO=AQ:AP=1:2．确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：． ∴Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 例2、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO， 且可得半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有． 例3、如图，是直角三角形，且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 解：考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M 满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M 满足AO:AM=2:1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有，且相似比为2． · 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（是定值）． 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 例4、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解：Q点满足①∠PAQ=60°；②AP=AQ， 故Q点轨迹是个圆： 考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°； 考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO， 且可得半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有． 【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系． 例5、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角．当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？ 解：Q点满足①∠PAQ=45°；②， 故Q点轨迹是个圆． 连接AO，构造∠OAM=45°且． M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有 ．即可确定点Q的轨迹圆． · 模型二：轨迹之线段篇 例6、如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分 别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 例7、如图，是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话， P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． · 【模型总结】 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（是定值）． 结论： （1）P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于（当 时，∠PAQ等于MN与BC夹角） （2）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由 ，可得） · 模型三：轨迹之其他图形篇 所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动