2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—二次函数中的面积问题

· 二次函数中的面积问题 函数与面积问题的构建形式较为多样但总体来看可分两步进行：第一步，分析图形特点，构建面积模型；第二步，结合面积模型，转化、分析求解。解析过程要充分利用数学的两大思想：数形结合和模型思想。 · 分类探究 · 题型一：面积最值问题 面积最值即求面积的最大值或最小值，在函数背景下通常有两种设问形式可直接求面积最值，也可求面积取得最值时的动点坐标等。解析方法有两种一是采用铅垂法，过三角形的顶点作垂线，则可将原三角形分割为两个同底三角形两个三角形的底就为垂线段，高则为两个定点的横向距离；二是采用切线法，原理与圆的切线相类似，以平行于三角形固定边的一条直线来逐步平移靠近二次函数的图像，当只有一个交点时，该点则为三角形取得面积最大值时的交点。 · 题型二：等面积问题 等面积问题重点突出了图形的面积相等。图形面积模型往往难以直接构建，需要通过等量转化来简化模型。采用的方法为等积转化法，若三角形同底，则对应高相等，可作底边的平行线，推导直线解析式；若为高相等，则可推知底相等，此时可考虑图形的中点。 · 题型三：面积比值问题 面积比值问题十分常见，通常给出面积之比的条件，探究动点坐标或线段长。解析关键是将面积比转化为线段比，通常采用等比转化的方法。若图形相似，可将面积比转化为线段比；若有等底或等高，则可以转化为高之比或底之比。 · 【学以致用】 1.如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，C两点，抛物线经过A，C两点，与轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 2.已知抛物线交轴于A，B两点，交轴于点C，点A，C的坐标分别为，. （1）求抛物线的解析式； （2）①如图1，直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点M，使得最小，求出点M的坐标； ②连接AC，求的面积； （3）如图2，P是轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当时，请直接写出直线BP的解析式． 3.如图，直线与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； 4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为E直线与抛物线交于A，C两点． （1）求出抛物线解析式和顶点的坐标； （2）求出点C的坐标和的面积； （3）设点P是轴上的一动点，当最短时，求P点的坐标． 5.如图，抛物线，与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，其顶点D的坐标为 （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）作直线BC，M为BC上一点，连接AM，当时，求点M的坐标． 6.如图，二次函数的图象过点、点. （1）该二次函数的顶点是________. （2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线经过A、C两点，满足的的取值范围是________. （3）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标． 7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与轴相交于点M． （1）求此抛物线的解析式； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使周长最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8.如图，已知抛物线上有三点，，. （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点D，能使以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （2）P为抛物线上一动点，请求出取最大值时，点P的坐标. 9.如图，抛物线的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标和直线BC的函数表达式． （2）P是抛物线在第一象限内的一点，过点P作于点Q，当PQ的长最大时，求P点的坐标． （3）在（2）的条件下，线段BC上有一点M（不与点B、C重合），使得的值最小，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 10.如图，抛物线与轴相交于，B两点，与轴交于点，点B在轴的负半轴上，且． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在线段OC上是否存在一点M，使的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请