2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—对角互补

· 对角互补 · 基本模型 · 模型1：全等型（） 1、如图，已知∠AOB＝∠DCE＝，OC平分∠AOB. 结论：（1）CD＝CE （2）OD＋OE＝OC （3） · 模型2：全等型（） 2、如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D， ∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 结论：（1）CD＝CE （2） （3） · 模型3：全等型（） 3、如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB. 结论：（1）CD＝CE （2）OD＋OE＝OC （3） · 模型4：全等型（） 4、如图，已知，OC平分∠AOB. 结论：（1）CD＝CE （2） （3） · 模型5：相似型（） 5、如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝. 结论：. · 【学以致用】 1、如图，在中，∠ABC＝90º，AB＝3，BC＝4，在中，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝PF时，AP＝ . 2、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则 . 3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点，B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，，则点C的坐标为 . 4、如图，在正方形外作直线FE并经过正方形的顶点C，分别过点B、D作直线FE的垂线，垂足分别为点E、F，求证：. 5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点O旋转，求证：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个重叠部分面积总是一个定值，并求这个定值. 6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE＝4，CF＝3，且OE⊥OF，求EF的长. 7、如图，在中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若∠A＝60º，∠EDF＋∠A＝180º，求证：. 8、在中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，且∠MDN＝90º，若，求证：. 9、如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H. （1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由； （2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围； （3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由. 10、在等边中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. （1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系； （2）如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF； （3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系. 11、抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C. （1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长； （2）点P在抛物线上，直线交轴于点Q，连接BQ。若含45º角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式； 12、如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q. （1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明； （2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想. · 对角互补 【参考答案】 1.解：如图，作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于R. ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90º， ∴四边形PQBR是矩形， ∴∠QPR＝90º＝∠MPN， ∴∠QPE＝∠RPE， ∴△QPE∽△RPF， ∴，∴ ∵，∴ 设，则，，，∴，解得， ∴. 2.如图，过点E分别作于点G，于点H. ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形CHEG也是矩形，∴∠GEH＝90º， ∴∠BEG＋∠GEF＝∠GEF＋∠FEH＝90º， ∴∠BEG＝∠FEH， 又∵∠BGE＝∠FHE＝90º，∴△BEG∽△FEH， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴. 3.如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM. ∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90