2024年九年级中考数学压轴题专项练习—四点共圆

中考数学压轴题专项练习 四点共圆 1．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图． （1）在图1、2中，取的中点，根据　　得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得　　，所以　　，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证． （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） （4）如图7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上． 2．（2022秋•仪征市期中）【问题提出】 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？ （1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： 是的直径， 　　， ， 四边形内角和等于， 　　． （2）请回答问题2，并说明理由； 【深入探究】 如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，． （3）直接写出四边形边满足的数量关系　　； （4）探究、满足的位置关系； （5）如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 3．（2010•永州）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知所在平面上存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离； ②如图（B），若四边形的四个顶点在同一圆上，则有．此为托勒密定理； （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在的外部以为边长作等边及其外接圆； 第二步：在上任取一点，连接、、、．易知　　； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出的费马点，并请指出线段　　的长度即为的费马距离． （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水． 已知三村庄、、构成了如图（E）所示的（其中、、均小于，现选取一点打水井，使从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 4．（2023•鹿城区校级二模）如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结．已知，，，． （1）求证：． （2）求与的长． （3）是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，． ①求关于的表达式． ②连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，求的值． 5．（2023•郸城县一模）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． （1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　　； 依据二：　　． （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （3）填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　　． 6．（2022秋•新华区校级期末）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，． （1）求证：是的切线； （2）求的直径； （3）当点在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是　　． 7．（2022秋•靖江市期末）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在中，，当长度不变时，则点在以为直径的圆上运动（不与、重合）． 【探索发现】 小明继续探究，在中，，长度不变．作与的角平分线