2024年九年级中考数学压轴题专项练习—费马点

中考数学压轴题专项练习 几何模型之费马点 1．（2017秋•义乌市月考）已知点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则　　 A． B． C．6 D． 2．（2022秋•大冶市期末）如图，是等边三角形外一点，连接，，，已知，，则当线段的长度最小时， ① ； ②的最小值是 ． 3．（2022秋•洪山区校级期中）如图，以等边的一边为底边作等腰，已知，，且，在内有一动点，则的最小值为 ． 4．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，，为的费马点，则 ；若，，，为的费马点，则 ． 5．（2020•荷塘区模拟）在中，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，，则的面积为 ． 6．（2020•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ． 7．（2023春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别是轴，轴正半轴上的点，且，是等边三角形，且点在第二象限，为平分线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，． （1）求证：； （2）若点坐标为； ①当的值最小时，请直接写出点的坐标； ②当的值最小时，求出点的坐标，并说明理由． 8．（2013•路南区一模）已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形． （1）求抛物线的解析式和点、的坐标； （2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长； （3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式． 9．（2012秋•汉阳区期中）（1）阅读证明 ①如图1，在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． ②如图2，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：． （2）知识迁移 根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆； 第二步：在上取一点，连接，，，．易知　　； 第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段　　的长度即为的费马距离． （3）知识应用 已知三村庄，，构成了如图4所示的（其中，，均小于，现选取一点打水井，使水井到三村庄，，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值． 10．（2012•遵义模拟）如图1，是锐角所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点． （1）当是边长为4的等边三角形时，费马点到边的距离为 　　． （2）若点是的费马点，，，，则的值为 　　． （3）如图2，在锐角外侧作等边，连接．求证：过的费马点． 11．（2022春•兰溪市校级月考）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”． 【基础巩固】 （1）如图1，在等腰中，，为边上的高，已知上一点满足，，求 ； 【尝试应用】 （2）如图2，等边三角形边长为，为高线上的点，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，连接，请你在此基础上继续探究求出等边三角形的“最近值”； 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，过的中点作垂线交的延长线于点，连接、，已知，，求三角形 “最近值”的平方． 12．（2022春•周村区期末）如图①，为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点． （1）如果点为锐角三角形的费马点，且． ①求证：； ②若，，求的长． （2）已知锐角三角形，分别以、为边向外作正三角形和正三角形，和相交于点，连结，如图②． ①求的度数； ②求证：点为的费马点． 13．（2021•雁塔区校级模拟）【问题情境】 如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为 　　． 【问题解决】 如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，． 14．（2021•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务：