2024年九年级中考数学压轴题专项练习—奔驰模型

中考数学压轴题专项练习 奔驰模型 1．（2021春•商河县校级期末）数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断 （1）在图中画出绕点顺时针旋转后的△； （2）试判断△的形状，并说明理由； （3）试判断△的形状，并说明理由； （4）由（2）、（3）两问可知：　　． 2．（2020•武侯区校级开学）问题：如图1，在等边内部有一点，已知，，，求的度数？ （1）请写出常见四组勾股数：　　、　　、　　、　　． （2）解决方法：通过观察发现，，的长度符合勾股数，但由于，，不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将绕逆时针旋转到△，此时，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出　　．请写出解题过程． （3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题： 如图2，在中，，，，为的点，且，若，，请求出线段的长度（用、的代数式表示）． 3．（2019秋•永定区期中）（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数． 分析：要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内． 解：如图2，作使，连接，，则是等边三角形． 　　， 是等边三角形 ，　　 ，　　 在中，，，， 　　 （2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数． （3）拓展应用．如图（4），中，，，，是内部的任意一点，连接，，，则的最小值为　　． 4．（2023春•清苑区期末）综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 　　； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． （4）连接，在旋转过程中是否存在角，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出的度数；如果不存在，请说明理由． 5．（2023•崂山区模拟）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． 请你回答：图1中的度数等于　　． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在正方形内有一点，且，，，则的度数等于　　，正方形的边长为　　； （2）如图4，在正六边形内有一点，且，，，则的度数等于　　，正六边形的边长为　　． 6．（2022秋•玄武区校级期中）如图，是等边三角形内一点，连接，，，以为边作，且，连接． （1）求证：； （2）若，，，求长． 7．（2022秋•新城区校级期末）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到△． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 8．（2020秋•田家庵区校级月考）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为 　　，正方形的边长为 　　． （变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由． （拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，在四边形中，，，，则的长度为 　　． 9．（2017秋•郾城区校级期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数． 解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形． ，，， ． 为　　三角形． 的度数为　　． （2）类比延伸 如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 10．（2019•碑林区校级三模）问题提出 （1）如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 （2）在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 （3）如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？ 若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 11．（2017秋•诸暨市校级期中）如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接． （1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由． （2）若，，，连接，判断的形状并证明． 12