2024年九年级中考数学压轴题专项练习—四边形中的对角互补模型

中考数学压轴题专项练习 四边形中的对角互补模型 1．（2023•宁阳县二模）在四边形中，，对角线平分． （1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为 ； （2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图3，若，若，，求线段的长和四边形的面积． 2．（2023春•分宜县期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． （1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）； （2）在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 3．（2021秋•丹阳市期末）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）四边形为对角互补四边形，且，则的度数为 ； （2）如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道、、三者关系为： ； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明： ①平分； ②； （4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足，，则、、三者关系为： ． 4．（2021秋•碑林区校级期末）同学们在第一次微课中听取了刘老师与杨老师关于面积等分线练习的讲评，小浩同学对此产生兴趣，上网又查到了长方形的一些性质：长方形的对角线相等且互相平分，对角线所在的直线是其一条面积等分线．请你利用以上性质，帮小浩解决下面问题： 问题发现： （1）如图①，已知长方形，请画出它的一条面积等分线（不经过对角线）； 问题探究： （2）四边形位于如图②所示的平面直角坐标系中，顶点位于原点，其余顶点坐标为，，，是四边形的一条面积等分线，点在轴上，请求出点的坐标． 问题解决： （3）全民抗疫，西安加油！如图③，在平面直角坐标系中（长度单位为米），长方形是西安某小区在疫情期间为居民核酸检测围成的一个工作区域，顶点，在坐标轴上，为坐标原点，记顶点，原有的一个出入口在边上，且米．为使工作高效有序，现计划在边，，上依次再设出入口，，，沿，拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分．请问，是否存在满足上述条件的点，，，如存在，请求出点的坐标及的函数表达式，如不存在，请说明理由． 5．（2021•宜春一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点，，在上，的平分线交于点，连接，． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 6．（2020•新宾县模拟）在四边形中，，，连接，． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系 ； （2）如图2，当时，猜想线段，，之间的数量关系；并证明你的猜想； （3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系．（用含的代数式表示） 7．（2020秋•洪山区期中）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 ； ③ ； （2）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明：； （3）如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 8．（2017秋•汉阳区期末）（1）探究：如图1，在和都是等边三角形，点在边上． ①求的度数； ②直接写出线段，，之间的数量关系； （2）应用：如图2，在四边形中，，，是四边形内一点，且，求证：； （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一个动点，以为边在的下方作等边，求的最小值． 9．（2023•雨花区校级二模）在中，弦平分圆周角，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，且是的中点，的直径是，求的长． （3）是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点作于点，请探究点在运动的过程中， 的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值． 10．（2019•宁波模拟）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形． （1）