2024年九年级中考数学压轴题专项练习—正方形中的十字模型

中考数学压轴题专项练习 正方形中的十字模型 1、（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点，求证； 【知识迁移】如图2，矩形中，，，点、、、分别在边、、、上，且于点．求的值； 【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且于点．请直接写出的值． 2、（2023•湘潭县三模）已知点、分别是四边形边、上的点，且与相交于点． （1）如图①，若，，，且，求证：； （2）如图②，若，，且时，求证：； （3）如图③，若，，设，当时，直接写出的值． 3、（2022春•潮阳区期末）（1）如图1，在正方形中，、相交于点且则和的数量关系为 ． （2）如图2，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，垂足为．求证：． （3）如图3，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，，，将正方形沿折叠，点的对应点恰好与边上的点重合，求的长度． 4、（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践： 如图，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，若，连接，当点在边上运动的过程中．是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，及此时的值；若不存在，请说明理由． 5、（2022•天桥区一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ； （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 ； （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：； （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，．请问．是定值吗？若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由． 6、（2023春•青秀区校级期中）在正方形中： （1）已知：如图①，点、分别在、上，且，垂足为，求证：． （2）如图②，如果点、、分别在、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论． （3）如图③，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论． 7、（2012秋•盱眙县校级期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边、上，，交于点，．求证：． （2）如图2，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，、交于点，，．求的长． （3）如图3，在矩形中，，点、、、分别在矩形的边、、、上，、交于点，，，求的长． 8、（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：　　（填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 9、（2022•锦江区校级模拟）在正方形中，点是边上的一个动点，点、在边上，，且，、的延长线相交于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当点与点不重合时，问：（1）中的度数是否发生变化，若有改变，请求出的度数，若不变，请说明理由； （3）在（2）的条件下，作于点，连接、，取的中点，连接，在点的运动过程中，求证：为定值． 10、（2020春•江岸区期中）问题背景：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：． 证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接． ，． 四边形为平行四边形，则　　，． ，． 又，为等边三角形，　　． ，即． 请完成证明中的两个填空． 迁移应用： 如图2，正方形的边长为4，点在边上，点在边上，点在上，过点作的垂线，交于点，交于点．求证： ①； ②． 联系拓展： 如图3，为等腰三角形，，过点作的平行线，点在直线上，点到的距离为2，求线段的最小值． 11、（2016•东台市二模）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于，于，证明：； 如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交、、、于点、、、． （1）求证：； （2）若正方形的边长为2，则线段的最小值 ，最大值 ． 12、（2012秋•温岭市校级月考）问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图，在正三角形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则； ②如图，在正方形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则； 然后运用类比的思想提出了如下命题： ③如图，在