2023年九年级中考数学压轴题专项练习—婆罗摩笈多模型

中考数学压轴题专项练习 婆罗摩笈多模型 1．（2023•宁波模拟）如图，在外分别以，为边作正方形和正方形，连接，是中边上的中线，延长交于点，求证： （1）； （2）； （3）． 2．（2021•开江县校级模拟）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”． 【特例感知】 （1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形，且时，则长为 　　． ②如图3，当，且时，则长为 　　． 【猜想论证】 （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长或延长， 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，，以为边在四边形内部作等边，连接，．若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形的边长． 3．（2020•汇川区模拟）我们定义：如图1、图2、图3，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△均是的“旋补三角形”． （1）①如图2，当为等边三角形时，“旋补中线” 与的数量关系为：　　； ②如图3，当，时，则“旋补中线” 长为 　　． （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想“旋补中线” 与的数量关系，并给予证明． 4．（2020•海淀区校级模拟）小明研究了这样一道几何题：如图1，在中，把点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，请问△边上的中线与的数量关系是什么？以下是他的研究过程： 特例验证 （1）①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为　　； ②如图3，当，时，则长为 　　． 猜想论证 （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使与之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出的边上的中线的长度；若不存在，说明理由． 5．（2018秋•丹江口市期末）已知，中，，，是的中点，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，的延长线交于点， （1）如图1，若，求证：，； （2）将正方形绕点顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； （3）将正方形绕点顺时针旋转至，，三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出的长． 6．（2018春•成华区期末）我们定义：在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称△叫的“旋补三角形”，△ 的边上的中线叫做的“旋补中线”．下面各图中，△均是的“旋补三角形”， 均是的“旋补中线”． （1）如图1，若为等边三角形，，则的长等于； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由． 7．（2018春•南京期末）将的边绕点顺时针旋转得到，边绕点逆时针旋转得到，，连接，作△的中线． 【初步感知】 （1）如图①，当，时，的长为　　； 【探究运用】 （2）如图②，为任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明． 【应用延伸】 （3）如图③，已知等腰，，延长到，延长到，使，将绕点顺时针旋转一周得到△，连接、，若，求的长度（用含、的代数式表示）． 8．（2022秋•白云区校级期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 9．（2020秋•南川区校级期中）已知：和均为等腰直角三角形，．连接，，点为中点，连接． （1）如图1所示，若，，求的长． （2）将绕点旋转一定的角度到图2， 求证：且． 10．（2020秋•鼓楼区校级期中）【感知】如图①，在四边形中，，点在边上，，且，求证：． 【探究】如图②，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，，且，，连接交于点．求证：． 【拓展】如图③，点在四边形内，十，且，，过作交于点，若，延长交于点．求证：． 11．（2020•黑龙江）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点． （1）如图①，若，，易证：； （2）如图②，；如图③，，（1）中结论，是否成立