2024年九年级中考数学压轴题专项练习—海盗埋宝模型

中考数学压轴题专项练习 海盗埋宝模型 1．（2023春•渠县校级期末）已知两个共一个顶点的等腰直角和等腰直角，，连接，是的中点，连接、 （1）如图1，当与在同一直线上时，求证：； （2）如图1，若，，求，的长； （3）如图2，当时，求证：． 2．（2021•台安县模拟）（1）如图1所示，在等腰三角形中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和．则线段，之间的数量关系是　　． （2）如图2所示，在任意三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和，探究与具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由． （3）如图3所示，在任意三角形中，分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，是的中点，连接、、，若，请直接写出线段的长． 3．（2020春•沙坪坝区校级月考）在，中，，连接，为中点，连接，． （1）如图1，若，，三点在同一直线上，，已知，，求线段的长； （2）如图2，若，求证：为等腰直角三角形； （3）如图3，若，请判断的形状，并说明理由． 4．（2018•长兴县二模）如图，两个等腰，，，与在同一直线上，连接，是的中点，连接、． （1）求证：； （2）若，．求、的长． 5．（2023•沂源县一模）已知如图1，在中，，，点在上，交于，点是的中点 （1）写出线段与线段的关系并证明； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，其它条件不变，线段与线段的关系是否变化，写出你的结论并证明； （3）将绕点逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段的范围． 6．（2021秋•荔城区校级期末）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点． （1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　　，位置关系是　　． （2）问题探究：如图②，将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．试判断与之间的数量关系，并证明； （3）拓展延伸：如图③，将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求线段的长 7．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，已知，边的中点， （1）分别以和为腰，向的外侧作等腰三角形，其中，，且，如图1所示． ①若，求的度数； ②求证：； （2）分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，其中，如图2所示，连接和，则和具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程． 8．（2020•越秀区校级模拟）在中，，．点在边上（不与，重合），连接，为中点． （1）若过点作于，连接、、，如图1．设，则　　； （2）若将图1中的绕点旋转，使得、、三点共线，点仍为中点，如图2．求证：； （3）若，点在边的三等分点处，将线段绕点旋转，点始终为中点，求线段长度的取值范围． 9．（2018•槐荫区一模）如图1，在中，，，为边上一点，且，过点作于点． （1）求的长； （2）如图2，将绕点顺时针旋转，延长交于点，交于点，连接．求证：点是的中点． （3）如图3，在绕点顺时针旋转的过程中，当的延长线恰好经过点时，若点为的中点，点是的中点，连接、．求证：． 10．（2020•东明县校级二模）已知等腰和等腰中，，且 （1）发现：如图1，当点在上且点和点重合时，若点、分别是、的中点，则与的位置关系是 　　，与的数量关系是 　　 （2）探究：若把（1）小题中的绕点旋转一定角度，如图2所示，连接和，并连接、的中点、，则与的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转得到的图形（图为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转得到的图形（图为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由． 11．（2013•太原二模）如图（1），点是正方形的边上一点，以为边在正方形的外部作，使，，点是线段的中点，连接，，请探究线段，的数量关系和位置关系． 小颖的思路：延长交于点，通过构造全等三角形解决． （1）请按小颖的思路解决图（1）中的问题： ①证明：； ②直接写出，的位置关系为 　　，数量关系为 　　． （2）将图（1）中的绕点旋转，使落在对角线的延长线上，其余条件都不变，请写出此时，的数量关系和位置关系，并证明； （3）将图（2）中的正方形变为菱形，其中，将等腰的顶角变为，其余条件都不变，此时线段，的位置关系为 　　，　　． 12．（2012•义乌市模拟）已知：是等腰直角三角形，四边形是正方形，是的中点． （1）如图，当、、在同一直线上时，请探究和的数量关系有 　　，位置关系有 　　． （2）如图，把等腰直角绕点逆时针旋转，当点恰好在射线上时： 问题①：（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明． 问题②：若正方形的面积为1，等腰直角的面积为，的长为，求关于的函数关系式． （3）如图，把等腰直角绕点逆时针旋转到一般位置时，请直接写出（1）中得到的结论一定 　　（填“成立”或“不成立” ． 1