2024年九年级中考数学压轴题专项练习—将军饮马（3）

中考数学压轴题专项练习 将军饮马（3） 1．（2020秋•泰山区期末）如图，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）在轴上找一点，使得的周长最小，在备用图中画出图形并求出点的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点且为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2021秋•思明区校级期中）如图，抛物线经过点，点，点． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点为抛物线上一点，连接，若直线分四边形的面积为的两部分，求点的坐标． （3）点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值及此时点的坐标． 3．（2021秋•诸暨市期中）如图，二次函数图象与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的顶点坐标是，且经过． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得最短？若存在，求出的坐标．若不存在，请说明理由． 4．（2021春•崂山区期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营，．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是所求的位置． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连结，，， ∵直线是点，的对称轴，点，在上， ∴　　，　　， ∴　　． 在， ∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即，，三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图4，等腰直角中，，平分交于，点是上一个动点，点是上一个动点，请在图5中画出的值最小时的位置．（可用三角尺） 5．（2021•福山区模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线经过抛物线上两点，．已知点，的横坐标分别为，且满足，直线的表达式为． （1）求的值及抛物线的表达式； （2）设点是直线上一动点，问：点在什么位置上时，的周长最小？求出点的坐标及周长的最小值； （3）如图2，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点，．若点是直线上一个动点，当点恰好是线段的中点时，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2020•宝应县一模）已知抛物线经过点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，点是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2020秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　； （2）代数应用：求代数式的最小值； （3）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是　　． 8．（2020•李沧区一模）【模型介绍】 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营，．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点，的对称轴，点，在上， ∴　　，　　，∴　　． 在中，∵，∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 （1）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值． 解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形