2024年九年级中考数学压轴题专项练习—将军饮马（2）

中考数学压轴题专项练习 将军饮马（2） 1．（2022•安国市一模）问题提出 初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识常可利用它们来解决“最值问题”． 简单运用 （1）如图1，在中，，，，在上取一点，则的长的最小值是 　　． 综合运用 （2）如图1，在中，，，，在、、上分别取点、、，使得的周长最小．画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值． 拓展延伸 （3）图2是由线段、线段、组成的图形，其中，，，为，分别在、线段和线段．上取点、、，使得的周长最小，画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值． 2．（2022春•泗水县期末）将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数的图象与、轴分别交于点、，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）． （1）如果点在轴上，将沿着直线翻折，使点落在点上，求直线的坐标三角形的面积； （2）如果一次函数的坐标三角形的周长是21，求值； （3）在（1）（2）条件下，如果点的坐标是，直线上有一点，使得周长最小，求此时的面积． 3．（2022春•江岸区校级月考）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，把直线沿直线折叠，使点落在轴负半轴上的点处，折痕与轴交于点． （1）试求点、、的坐标； （2）点是直线上的一个动点，且的面积为4，求点的坐标； （3）如图2，点为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，求的最小值． 4．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图1，在中，是边上的中线，点、在上，连接，，，延长交于点． （1）若，，则　　； （2）若，．求证：； （3）如图2，在（2）条件下，点、、分别是三边上的动点，且，，当的周长最小时，直接写出的值． 5．（2022春•安新县期末）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展—八年级三班李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀《古从军行》，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． 问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是 　　． 问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出点的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 6．（2022春•龙岗区期末）龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点是直线上一动点，则的最小值为 　　； （2）几何应用：如图3，中，，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 　　； （3）代数应用：代数式的最小值为 　　． 7．（2022春•重庆期中）在平面直角坐标系中，直线经过点和点．点的横坐标为，点为线段的中点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，若点为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点坐标； （3）在（2）的条件下，点在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 8．（2022•碑林区校级一模）（1）如图①，点、点在直线同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小；（不需要说明理由） （2）如图②，，点为内一定点，，点，分别在，上，的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由； （3）如图③，已知四边形中，，，，，点为边上的一点且，点，分别在边，上运动，点在线段上运动，连接，，，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值和此时的长，若不存在，请说明理由． 9．（2022•潮南区模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为；线段的垂直平分线交抛物线于点、，点、横坐标分别为、且满足． （1