2024年九年级中考数学压轴题专项练习—正方形中的半角模型

中考数学压轴题专项练习 正方形中的半角模型 1．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点．以下结论正确的是 　　． ①； ②； ③点到直线的距离最大值为； ④点到直线的距离最大值为． 2．（2021秋•鹿城区校级期中）如图1，已知一个量角器的直径与正方形的边长相等，点与点重合，量角器的半圆弧与边交于点，过点作，交边，于，．在量角器绕点顺时针旋转的过程中，若的度数为，则的值为　　；如图2，连结，，与对角线分别交于，，若，则的值为　　． 3．（2021秋•北碚区校级期末）如图，点、分别在正方形的边，上，且，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，，，则　　． 4．（2023•宿州模拟）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是　　． （2）若，则　　． 5．（2021秋•河口区期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图，求证：； （2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　； （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． 6．（2022•绥化三模）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边长分别交、（或它们的延长线）于点、，于点． （1）如图①，当点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：　 　； （2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知，于点，且，，求的长． 7．（2019•新城区校级一模）问题提出： 如图1：在中，且，点为的外心，则的外接圆半径是 　　． 问题探究： 如图2，正方形中，、分别是边、两边上点且，请问线段、、有怎样的数量关系？并说明理由． 问题解决： 如图3，四边形中，，，，点、分别是射线、上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 8．（2012•怀柔区一模）探究： （1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：　　； （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别、运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 9．（2019•夏津县二模）如图1，在正方形中，、分别是，上的点，且度．则有结论成立； （1）如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 10．（2016春•长春期末）【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明） 【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：． 【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为　 　． 11．（2023•增城区二模）在正方形中，点、分别在边、上，且，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为6，，求的长； （3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 12．（2023•昆明模拟）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题： 如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：． 数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下： 由正方形的性质得到，，再由垂直和平行可知， 再利用同角的余角相等得到，则可根据“”判定， 得到，所以． 【建立模型】该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题： （1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，． 求证：四边形是菱形； 【模型拓展】该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点； （2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值． 13．（2017•南山区三模）把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后把三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、． （1）当三角板绕点旋转到图（1）的位置时，求证：． （2）当三角板绕点旋转到图（2）的位置时，试判断线段、