2024年九年级中考数学压轴题专项练习—倍长中线

中考数学压轴题专项练习 几何模型之倍长中线 1．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，在上，，求证：； （3）如图3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积． 2．（2023春•荣昌区期末）菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点． （1）如图1，若，当时，求的长； （2）以为边向右侧作等边，连接，． ①如图2，点是中点，连接．求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 3．（2023•抚州三模）课本再现： （1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在中，点，分别是，的中点，连接．则与的关系是　　． 定理证明 （2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． 定理应用 （3）如图（2），在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点．若，则的度数是　　． （4）如图（3），在矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值． 4．（2023春•巴南区期中）在矩形中，是边上一点． （1）若，平分，且，求的面积； （2）若是中点且，于点，求证：； （3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系． 5．（2023春•碑林区校级期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】（1）图1中与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； 【初步应用】（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则． 【探究提升】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 6．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在中，点是的中点，分别以，为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，，，，连接． （1）请写出与的数量关系，并说明理由． （2）延长交于点，求的度数． 7．（2023•蜀山区校级一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． （1）若，，求的长； （2）求证：； （3）求证：． 8．（2021秋•东城区期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 9．（2022春•南岗区校级月考）在中，，点为的中点，点、分别在边、上，且满足． （1）如图1，当时，若，，则　　； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，当时将沿翻折，边与交于点，若，，求的长． 10．（2022•淮安二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点旋转，使得和重合，得到 思路2：延长到，使得，连接，根据可证得 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 　　． 【类比探究】 如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含和的式子表示），如果不存在，请说明理由． 11．（2021•扬州模拟）我们定义：如图1，在中，把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．我们称△是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为 “旋补交差角”， 点到中点间的距离成为“旋转中距”．如图1，即为 “旋补交差角”， 即为 “旋补中距”． （1）若已知图1中的长度等于4，当，则 “旋补交差角” 　　，“旋补中距” 长度　　； （2）若图1中的度数发生改变，则 “旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断 “旋补中距”是否也发生改变； （3）已知图2中△是 “旋补交差三角形”， 的长度等于4，长度等于6，问是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由． 12．（2021春•龙口市月考）如图，将置于直角坐标系中，，，点、分别在轴、轴上，且，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，、分别交轴、轴于、，请直接写出的值． （3）如