2024年九年级中考数学压轴题专项练习—手拉手模型

中考数学压轴题专项练习 几何模型之手拉手模型 1．（2023春•渠县校级期末）已知：点是边所在直线上的一个动点（点与点，不重合），，，连接，点绕点顺时针转得到点，连接，，． （1）如图1，当点在线段的延长线上时，请你判断线段与线段之间的关系，并证明你判断的结论． （2）如图2，当点在线段上，且时，直接写出四边形的面积． （3）点绕点逆时针转得到点，连接，，，当时，直接写出线段的长． 2．（2023•海淀区校级四模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点． 对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点，的“中旋点”． （1）如图1，已知点，点为点关于点，的“中旋点”． ①若点，在图中画出点，并直接写出的长度为 　　； ②当点在上运动时，直线上存在点关于点，的“中旋点” ，求的取值范围； （2）点，当点在上运动时，若上存在点关于点，的“中旋点” ，直接写出的取值范围． 3．（2023•黑龙江模拟）在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明． 4．（2023•霍邱县一模）如图1，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，请直接写出线段的长． 5．（2023春•莲池区校级期末）图中和是两个等边三角形，其中，，如图①， （1）将两三角形按图1放置（点，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长； （2）将绕点逆时针旋转，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：； （3）以图1的位置为起点，将绕点逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度． 6．（2023春•和平县期末）【问题提出】（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； 【类比延伸】（2）如图2，与均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为 　　；线段与之间的数量关系为 　　． 【拓展研究】（3）如图3，与均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 7．（2023•泰州）已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，、位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，若为圆内一点，且，，．求证：为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 8．（2023春•金牛区期末）在中，，点为直线上一动点，，． （1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长； （2）如图2，延长至点使得，连接，．求证：． （3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长． 9．（2023•和平区三模）已知抛物线，，，是常数）的顶点为，与轴相交于点和点，与轴相交于点． 若，点坐标为，对称轴为直线， ①求点的坐标； ②将直线沿轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求的取值范围； 若，点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点，当为何值时，的最小值是？ 10．（2023春•鼓楼区校级期末）已知和都是等腰直角三角形，，连接，，点为中点． （1）如图1，求证：； （2）将绕点旋转到如图2所示的位置，连接，，过点作于点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：，，三点共线． 11．（2023春•天桥区期末）（1）如图1，是等边三角形，点为边上的一动点（点不与，重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是　　，　　． （2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与，重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由： ①的度数； ②线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，，请直接写出的值． 12．（2023春•平遥县期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 初步把握如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　　． 深入