2024年九年级中考数学压轴题专项练习—一线三等角

中考数学压轴题专项练习 几何模型之一线三等角 1．（2023春•平阴县期末）已知，在中，，，，三点都在直线上，． （1）如图①，若，则与的数量关系为 　　，，与的数量关系为　　． （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由． 2．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； （3）如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 3．（2023春•红安县期末）【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请直接写出点的坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点的坐标． 4．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标． 5．（2023春•罗庄区期末）课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角三角形的直角顶点；过点作于点，过点作于点研究图形，不难发现：． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，将直线绕点顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式； （3）如图4，在平面直角坐标系，点，过点作轴于点，作轴于点，为线段上的一个动点，点位于第一象限（且在上方）．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 6．（2023•潍坊三模）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点． 观察发现： （1）如图1，当，两点均在直线的上方时 ①猜测线段，与的数量关系并说理由； ②直接写出线段，与的数量关系； 操作证明： （2）将等腰直角三角尺绕着点逆时针旋转至图2位置时，线段，与又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索： （3）将等腰直角三角尺绕着点继续旋转至图3位置时，与交于点，若，，请直接写出的长度． 7．（2023春•南安市期末）如图，直线为常数，与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，点，分别为轴和轴上的动点． （1）求的值； （2）若点的坐标为，且，求点的坐标； （3）若点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到线段，当四边形是平行四边形时，用含的代数式表示四边形的面积． 8．（2023春•莱芜区期中）问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，请直接写出、、的数量关系． 拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，请写出、、三条线段的数量关系，并说明理由． 实际应用：（3）如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． 9．（2023春•青秀区校级月考）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，求证：； （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 10．（2023•尤溪县校级模拟）在矩形中，连接，线段是线段绕点逆时针旋转得到，平移线段得到线段（点与点对应，点与点对应），连接，分别交，于点，，连接． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，，求矩形的面积（用含有，的式子表示）． 11．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知与都是等腰直角三角形，，，，点，位于的异侧，连结，过作，且，连结交于点，连结，． （1）如图1，若点，，在同一直线上； ①求证：； ②请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若点，，在同一直线上，连结，试猜想与的数量关系，并说明理由． 12．（2022秋•赣县区期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直