2024年九年级中考数学压轴题专项练习—角平分线模型

中考数学压轴题专项练习 角平分线模型 1．（2023春•青浦区期末）如图，在梯形中，，平分，． （1）求证：； （2）作，垂足为点，． ①设，请用含的代数式表示梯形的面积； ②点为中点，联结并延长，交边于点，请你想一想， 能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 2．（2023•宁江区二模）在四边形中，平分，，． （1）若时，直接写出与的数量关系为 　　； （2）如图1，当时，（1）中结论是否还成立，说明理由； （3）如图2，为中点，为上一点，，求的值． 3．（2023春•二道区校级期中）【问题】 如图①，在中，，平分，平分．求的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（三角形内角和． 　　（等式性质）． （已知）， 　　（等量代换）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． 同理，　　； 　　（等式性质）． ， 　　（等式性质）． 【拓展】如图②，在中，，平分，平分． 则　　． 【应用】如图③，在中，平分，平分，平分，平分．若，则　　． 4．（2023春•渝中区校级期中）在中，为边上一点，连接，为上一点，连接， （1）如图1，延长交于点，若平分，平分，，，，求的周长； （2）如图2，连接，若，，为中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在第（2）问的条件下，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，连接，为的中点，连接，当点到的距离最小时，直接写出的值． 5．（2022秋•南关区校级月考）【感知】如图①所示，在等腰中，，平分，易得（不需要证明）． 【探究】如图②所示，李丽同学将图①的等腰改为任意，平分，他通过观察、测量，猜想仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法： 方法1：过点分别作：于点，于点，利用与的面积比证明结论． 方法2：过点作交延长线于点，利用与相似证明结论． 请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明． 【应用】如图③所示，在中，，，，平分．若点在边上，，交于点，则　　． 6．（2022春•丹阳市期末）【阅读材料】 像，，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与，，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为　　； （2）化简：； （3）①如图1，中，，，，点到边的距离为　　； ②如图2，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为3，则点到边的距离为　　． 7．（2022春•萍乡期中）已知是的平分线，点是射线上一点，，点、分别在射线、上，连接、． （1）如图①，当，时，则与的数量关系是 　　； （2）如图②，点、在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． （3）在问题（2）中，则四边形的面积是否会发生变化？若不会发生变化，请直接写出面积的值，若发生变化，请说明理由． 8．（2021秋•北安市校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． （1）求：①，的值；②的值； （2）为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标； （3）如图2，点为轴正半轴上一点，且，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，直接写出的最小值；（图1与图2中点的坐标相同） （4）在（3）的条件下，当最小时，射线交于，点坐标为，当三角形为等边三角形时，直接写出点坐标． 9．（2021秋•天山区校级期中）如图所示：中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求，的度数是多少？ 10．（2021春•东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为， 又因为在中，， 所以． 所以　　（理由是：等式性质） 同理可得　　． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，　　． 所以 即 所以． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的关系． 11．（2021秋•沂水县期中）【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系． 【问题解