06向量在几何中的应用（用向量解决线段的长度问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用）

06向量在几何中的应用（用向量解决线段的长度问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用） 一、单选题 1．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）    A．2 B．1 C． D． 2．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 3．在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 4．如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（    ）    A． B． C．或 D．或 5．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（    ） A． B． C．（0，2] D． 6．已知中，边上的中线，则=（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．在中，为边上的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知平面直角坐标系中有一凸四边形，且不平行于不平行于．设中点中点，且，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，D，E，F分别在边上（与线段端点可重合），且，．则下列结论正确的是（    ） A．的值是定值: B．的范围是； C．面积的最小值为1； D．的周长最大值为 11．已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 三、填空题 12．如图，在重，点D是线段上靠近点C的三等分点.若，，，则 ； . 13．如图，在平面四边形中，，，，且，则 ，若是线段上的一个动点，则的取值范围是 . 14．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ． 15．四边形的两条对角线与相交于点，且，，过点作，垂足为，若，则四边形的面积为 ． 16．如图，在平面四边形中，，．若，则的值为 ． 17．如图,在中，，点在线段上，且，则 ． 四、解答题 18．在△ABC中，D是边BC上的点，，，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍． (1)求△ACD的面积； (2)求△ABC的边BC上的中线AE的长． 19．在中，设. （1）求证：为等腰三角形； （2）若且，求的取值范围. 20．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米． (1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ (2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为，则可表示出，即可计算出和两点间的距离. 【详解】设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为， 则，， 则， 所以， 所以， 故选：D. 2．B 【分析】由题意可知是线段的中垂线，从而可得结果. 【详解】由得是的中点， 又由得，所以. 故选：B. 3．D 【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长． 【详解】，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴， 故选：D. 4．B 【解析】由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案. 【详解】因为，，，所以. 因为， 所以 故选：B 5．D 【解析】如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果. 【详解】如图所示，设，，∠CAB＝45°， 由图可知，当BC⊥AC时，的取值最小，此时，则， 而没有最大值， 故的取值范围为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的