05向量在几何中的应用（用向量解决夹角问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通

05向量在几何中的应用（用 向量解决夹角问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用） 一、单选题 1．如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 2．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在△中，“ ”是“△为钝角三角形” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，且与夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知平面向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 10．下列结论正确的是（    ） A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 三、填空题 11．在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 12．，若与不成锐角，则t的取值范围为 ． 13．在平行四边形中，，则 ；点是线段上的一个动点，当最小时， ． 14．已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为 ． 15．已知向量，，，则 ． 16．在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，则的最小值为 . 四、解答题 17．如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求的正弦值； (2)求的余弦值． 18．在平面直角坐标系中，点. （1）若，求实数的值； （2）若，求的面积. 19．（本小题满分１2分） 　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求sin∠A的值； （２） 若∠A为钝角，求c的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 2．C 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 3．B 【分析】由，可得，分析即得解 【详解】由题意， ，又 为钝角 则的形状是钝角三角形 故选：B 4．D 【分析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，， ∴，，则， 故选：D. 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学生的计算能力. 5．D 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 6．D 【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案. 【详解】由，即，又， 所以，不能推出△为钝角三角形，充分性不成立； △为钝角三角形时，若，则，不能推出，必要性不成立. 所以“ ”是“△为钝角三角形” 的既不充分也不必要条件. 故选：D 7．A 【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得的值即可确定的值. 【详解】由题意可得：，且， ， ，∴∠AOB=90°.    如图所示，建立平面直角坐标系，设，， 由可知：，则： ，，， 则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的