04向量在几何中的应用（用向量证明线段垂直）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用

04向量在几何中的应用（用向量证明线段垂直）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用） 一、单选题 1．在中，若，则的形状是（    ） A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形 2．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 3．若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 4．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 5．若为所在平面内一点,且满足,,则的形状为 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．在中，分别是内角所对的边，若 （其中,且则的形状是 A．有一个角为的等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．若分别为四边形所在边的中点，且，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 8．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 9．如图，的外心为O，三条高线交于一点H，与的延长线交于点I，与的延长线交于点J，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，其中，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积最大 D．当时， 11．在中，，，若是直角三角形，则k的值可以是（    ） A． B． C． D． 12．点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A．若,则点O为的重心 B．若,则点O为的垂心 C．若,则点O为的外心 D．若,则点O为的内心 三、填空题 13．在四边形中，，则四边形的形状是 . 14．写出直线的一个法向量 ． 15．在中，若，则的形状是 三角形. 16．在三角形所在平面内有一点满足,则点是三角形的 . 四、解答题 17．如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    18．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 19．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 20．如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】由条件求得，可得，故，由此可得的形状． 【详解】在中，，， ，则为直角三角形， 故选：D． 2．C 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 3．C 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：C. 4．C 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 5．C 【详解】,点M在底边BC的中垂线上，又,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以ABC的形状为等腰三角形. 6．D 【详解】试题分析：在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵； ∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c； ∴延长AF交BC的中点于O，则：S△ABC＝，b=c； ∴；∴；∴； ∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算 7．C 【分析】结合图像，由得，再由中位线定理可得，又易知四边形是平行四边形，故四边形是矩形. 【详解】根据题意，如图，得 因为，所以，则， 又分别为四边形所在边的中点， 所以，，故， 又由中位线定理易知，，，，， 所以， ，则四边形是平行四边形， 故四边形是矩形. 故选：C. . 8．B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三