第07讲：相似（必刷9大考题+9大题型）-2023-2024学年九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习（人教版）

第07讲：相似 【考点归纳】 考点一：比例的性质 考点二：相似图形和性质 考点三：平行线分线段成比例定理 考点四：相似三角形的判定 考点五：相似三角形的性质 考点六：相似三角形的实际应用 考点七：位似 考点八：相似三角形的动点问题 考点九：相似三角形的综合问题 【知识归纳】 1.相似三角形：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫做相似三角形。对应边的比叫做相似比。 2.相似三角形的判定方法: 　 根据相似图形的特征来判断。（对应边的比相等，对应角相等） 　 .平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；（预备定理） 　 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；（“角角”） 　 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；（“边比角边比”） 　　如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；（“边边边比”） 3.直角三角形相似判定定理: 　.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。（“斜边直角边比”） 　.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 4.相似三角形的性质: 　　.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 　　相似三角形周长的比等于相似比。 　 .相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5、（1）位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． （2）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 【题型归纳】 题型一：比例的性质 1．（2023上·湖南株洲·九年级校考期末）已知，则的值为(   ) A． B． C．2 D． 2．（2023下·安徽安庆·九年级统考期末）已知，则（    ） A．−3 B．3 C． D． 3．（2022上·广东佛山·九年级校考期末）已知，若，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．18 题型二：相似图形和性质 4．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2023上·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（    ） A．4 B．10 C． D． 题型三：平行线分线段成比例定理 7．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和，已知，若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．5 D．6 8．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023上·湖南娄底·九年级统考期末）如图所示，直线，另两条直线分别交于点及点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四：相似三角形的判定 10．（2023上·吉林·九年级统考期末）如图，是的边上一点，则能得到的条件为（    ） A． B． C． D． 11．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，点P在边上，则在下列条件中，不能证明相似的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，是边上的点，下列条件中不能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 题型五：相似三角形的性质 13．（2023上·海南海口·九年级校联考期末）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（　　）    A．2 B． C．3 D． 14．（2022上·广西百色·九年级统考期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 15．（2022下·山东威海·八年级统考期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 题型六：相似三角形的实际应用 16．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生