河北省秦皇岛市青龙县部分学校2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题

2023—2024学年第一学期青龙县部分学校12月联考 高三数学试题 本试卷共22题．全卷满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数为纯虚数，则 A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i 3．若，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知正数满足，则（    ） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值2 D．有最小值2 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（    ） A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 10．下列四个数列中的递增数列是（　　） A．1，，，，… B．，，，… C．，，，，… D．1，，，…， 11．如图，在正方体中，，分别是的中点，则（    ） A．四点，，，共面 B． C．平面 D．若，则正方体外接球的表面积为 12．下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知平面向量，，的夹角为，则 ． 14． ． 15．已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，….记数列的前n项和为，有下列判断：①；②；③；④.其中正确的判断序号是 . 16．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线l与椭圆交于A，B两点（A点在第一象限），则的周长为 ；当，直线l的斜率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，其中 (1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期； (2)若，求函数在上的最小值； 18．已知为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 19．已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 20．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 21．已知函数，对任意，都有. （1）求实数m的取值范围； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 22．在中，有，其中、、分别为角、、的对边. (1)求角的大小； (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【详解】因为全集，集合， 则. 故选：C 2．B 【详解】∵为纯虚数， ∴，解得. . 故选：. 3．A B选项，，时，不成立，排除B选项； C选项，当时，由得，排除C选项； D选项，，时，不成立，排除D选项. 故选：A. 4．B 【详解】 当且仅当时取得等号， 即有最小值4. 故选:B. 5．C 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C. 6．C 【详解】连接， 根据长方体的性质可知， 所以是异面直线与所成角（或其补角）， 在三角形中，， 由余弦定理得. 故选：C 7．C 【详解】由题知，在区间上有零点， 令， 所以在上有解， 所以，在上有解， 因为，根据满足对勾函数特点，可作下图 由图知在上单调递增， 所以 的最小值为； 的最大值为； 所以实数的取值范围是 故选：C 8．A 【详解】，当时，， 故当时，恒成立，排除BD， ， 令得：，此时单调递增，令得：， 此时单调递减，其中，排除C， 故当时，取得最大值，故A正确. 故选：A 9．BD 【详解】整理双曲线方程可得， 该双曲线焦距为：， 离心率为：， 顶点坐标为和， 渐近线方程为， 不因改变而变化的是离心率与渐近线方程. 故选：BD. 10．CD 【详解】解：对于A，数列1，，，，…为递减数列，故不符合题意； 对于B，数列，，，…为周期数列，且，故不符合题意； 对于C，数列，，，，…为递增数列，故符合题意； 对于D，数列1，，，